Sottospazio affine

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Sottospazio affine #1376

avt
xavier310
Sfera
Volevo chiedere cosa si intende per sottospazio affine: qual è la sua rappresentazione grafica e cosa si intende per sottospazio di giacitura e per dimensione di un sottospazio affine? Che differenza c'è tra sottospazi affini e sottospazi vettoriali? Potreste chiarire questi miei dubbi e riportare qualche esempio?
 
 

Sottospazio affine #1436

avt
Omega
Amministratore
Il concetto di sottospazio affine si introduce a partire da quello di spazio vettoriale; più nello specifico, se V è uno spazio vettoriale, un sottospazio affine S dello spazio vettoriale V è un sottoinsieme di V della forma:

S=\mathbf{v}_0+W=\{\mathbf{v}_0+\mathbf{w} \ | \ \mathbf{w}\in W\}

dove \mathbf{v}_0 è un qualsiasi elemento di V e W è un sottospazio vettoriale di V e prende il nome di sottospazio di giacitura di S.

La dimensione di un sottospazio affine è uguale, per definizione, alla dimensione del sottospazio di giacitura, ossia coincide con la dimensione del sottospazio vettoriale W, in simboli:

\mbox{dim}(S)=\mbox{dim}(W)

Esempi di sottospazio affine

1) Ogni sottospazio vettoriale è un particolare sottospazio affine, basta infatti prendere \mathbf{v}_0=\mathbf{0}_V.

2) L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo A\mathbf{x}=\mathbf{b} di n equazioni e a coefficienti in un campo \mathbb{K} è un sottospazio affine di \mathbb{K}^n.

Per convincersene è sufficiente ricordare che:

- l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} associato a A\mathbf{x}=\mathbf{b} è un sottospazio vettoriale di \mathbb{K}^n;

- per il teorema di struttura, se \mathbf{v}_0 \in \mathbb{K}^n è una soluzione di A\mathbf{x}=\mathbf{b} allora ogni sua altra soluzione \mathbf{v} è della forma

\mathbf{v}=\mathbf{v}_0+\mathbf{w}

dove \mathbf{w} è una soluzione del sistema omogeneo A\mathbf{x}=\mathbf{0}.

In altre parole, se S è l'insieme delle soluzioni di A\mathbf{x}=\mathbf{b} e W\subseteq \mathbb{K}^n è il sottospazio di \mathbb{K}^n formato dalle soluzioni del sistema lineare omogeneo A\mathbf{x}=\mathbf{0}, allora

S=\mathbf{v}_0+W

dove \mathbf{v}_0 è una soluzione di A\mathbf{x}=\mathbf{b}.

3) Sia V=\mathbb{R}^3:=\{(x,y,z) \ | \ x,y,z \in \mathbb{R}\}

Fissiamo un vettore \mathbf{v}=(v_x, v_y, v_z) \in \mathbb{R}^3-\{\mathbf{0}\} e sia W il sottospazio vettoriale generato da \mathbf{v}, ossia

W=\mbox{Span}(\mathbf{v})

Per definizione di sottospazio generato

W=\{t \mathbf{v} \ | \ t \in \mathbb{R}\}

Preso un qualsiasi punto dello spazio P_0=(x_{P_0}, y_{P_0}, z_{P_0}), l'insieme

S=P_0+W=\{P_0+t\mathbf{v} \ | \ t \in \mathbb{R}\}

è un sottospazio affine di \mathbb{R}^3.

Da un punto di vista grafico, W è una retta dello spazio avente come direzione il vettore \mathbf{v}, mentre il sottospazio affine S è una traslazione della retta W.

4) Analogamente, fissati due vettori linearmente indipendenti \mathbf{v}_1 \mbox{ e } \mathbf{v}_2 \mbox{ di } \mathbb{R}^3 e considerato il sottospazio

W_1=\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2)=\{t\mathbf{v}_1+s\mathbf{v}_2 \ | \ t, s \in \mathbb{R}\}

l'insieme

S=P_0+W_1=\{P_0+t\mathbf{v}_1+s\mathbf{v}_2 \ | \ t, s \in \mathbb{R}\}

è un sottospazio affine di \mathbb{R}^3 e, geometricamente, rappresenta un piano dello spazio tridimensionale. Nella definizione di S potete infatti riconoscere l'equazione parametrica di un piano in forma vettoriale.

Differenza tra sottospazio vettoriale e sottospazio affine

I sottospazi affini si distinguono dai sottospazi vettoriali per il fatto che non devono necessariamente passare per l'origine.

Dal teorema di caratterizzazione degli spazi vettoriali sappiamo che un sottoinsieme W di uno spazio vettoriale V è un sottospazio vettoriale di V se e solo se è chiuso rispetto alle operazioni di somma e di prodotto per uno scalare definite in V.

Come ampiamente discusso nella lezione come stabilire se un insieme è un sottospazio vettoriale, da questa caratterizzazione segue che lo zero di V deve appartenere a W; se così non fosse W non sarebbe un sottospazio di V. In altri termini l'appartenenza del vettore nullo, ossia il passaggio per l'origine, è una condizione necessaria per ciascun sottospazio vettoriale.

I sottospazi affini, invece, non devono soddisfare necessariamente questa condizione, ossia il vettore nullo può anche non appartenervi.

Di conseguenza da un punto di vista grafico i sottospazi vettoriali sono tra loro incidenti perché hanno sempre l'origine in comune, i sottospazi affini possono non intersecarsi ed essere ad esempio paralleli.

Questo indebolimento delle proprietà ha però un'importante conseguenza: per i sottospazi affini non vale la formula di Grassmann (o meglio, non nella sua formulazione per sottospazi vettoriali).

Infine, come risulta evidente dai precedenti esempi, un sottospazio affine è un traslato del sottospazio vettoriale che lo genera, per cui la rappresentazione geometrica del sottospazio affine è data da una traslazione della sua giacitura.
Ringraziano: frank094, CarFaby
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