Dimostrazioni Sottospazi Vettoriali

Mi servirebbe una mano su un esercizio di Algebra Lineare in cui mi viene chiesto di determinare i valori di un parametro reale affinché un dato sottoinsieme dello spazio dei polinomio di grado al più 7 è un sottospazio vettoriale. Come si fa?

Sia il sottoinsieme di definito da



con .

Per quali valori di l'insieme è un sottospazio vettoriale di ?

Grazie.

L'esercizio ci chiede di ricavare i valori di un parametro reale in modo tale che un sottoinsieme dello spazio dei polinomi di grado al più 7 sia effettivamente un suo sottospazio vettoriale.

Prima di occuparci del problema ricordiamo la caratterizzazione di sottospazio.

In generale un sottoinsieme di uno spazio vettoriale su un campo è un sottospazio vettoriale se e solo se valgono le seguenti condizioni

1. Il vettore nullo di è un elemento di



In caso contrario non può essere un sottospazio di .

2. Vale la condizione di chiusura rispetto alla somma: per ogni coppia di vettori di , la loro somma è ancora un elemento di



3. Vale la condizione di chiusura rispetto al prodotto: per uno scalare e per ogni , il prodotto è ancora un elemento di .




Svolgimento dell'esercizio

Consideriamo il sottoinsieme di definito da:



Esso è costituito dai polinomi di grado al più 7, nell'indeterminata , a coefficienti reali, e caratterizzati dal fatto che le loro valutazioni in 1 coincidono con .

Per determinare i valori di affinché sia un sottospazio vettoriale di bisogna verificare i tre assiomi.

Il vettore nullo di , ossia il polinomio identicamente nullo



è un elemento di se e solo se .

Siccome la valutazione del polinomio nullo in 1 vale zero, la condizione



diventa



Questa condizione non basta per concludere l'esercizio, ma fornisce già un'informazione importante: se , allora non è un sottospazio vettoriale di . In altri termini solo il sottoinsieme



si candida a sottospazio; per valori di diversi da 0, non lo è.


Chiusura rispetto alla somma

è chiuso rispetto alla somma se e solo se la somma di due suoi elementi è ancora un elemento di .

Consideriamo due vettori : essi devono essere entrambi polinomi di grado al più 7 tali che



Per definizione di somma tra polinomi



è a sua volta un polinomio di grado 7. Valutandolo in , ricaviamo la seguente relazione



La somma è quindi un elemento di , perché rispetta tutte le condizioni di appartenenza.


Chiusura rispetto al prodotto per uno scalare

Dobbiamo provare che per ogni numero reale e per ogni polinomio di , il prodotto è ancora un elemento di .

Per ipotesi è un elemento di , per cui è un polinomio di grado al più 7 tale che .

Inoltre il prodotto è ancora un polinomio di grado al più 7, e inoltre



pertanto rispetta le condizioni di appartenenza di , vale a dire .

La condizione di chiusura rispetto al prodotto per uno scalare è soddisfatta.


Conclusioni

è un sottospazio vettoriale per se e solo se .

Abbiamo terminato!