Dimostrazioni Sottospazi Vettoriali

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Dimostrazioni Sottospazi Vettoriali #1298

avt
frank094
Maestro
Ciao! Torno di nuovo con due dimostrazioni di Algebra Lineare: voglio essere sicuro che siano fatte al meglio prima di andare avanti emt.

Quesito 1: Sia V_c = \{p \in \mathbb{R}_7[t] \mbox{ } | \mbox{ } p(1) = c\}. Per quali valori di c \in \mathbb{R} l'insieme V_c è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}_7[t].

Risoluzione 1: Come già dimostrato in precedenza che qualsiasi insieme \mathbb{R}_k[t] è sottospazio vettoriale di \mathbb{R}_n[t], con k \leq n.

Lasciando per un'attimo da parte la condizione, l'insieme V_c va a coincidere con l'insieme dei polinomi in una variabile, a coefficienti reali, con grado minore o uguale di 7 e fin qui non ci sono problemi.
Iniziamo adesso a lavorare con la condizione; quando essa vale possiamo scrivere il polinomio generico appartenente a V_c come:

a_7 + a_6 + a_5 + a_4 + a_3 + a_2 + a_1 + a_0 = c

Un sottospazio vettoriale chiaramente continua ad avere le stesse caratteristiche di uno spazio vettoriale quindi è richiesto l'elemento nullo ( nello specifico il polinomio nullo ); un polinomio è nullo se e solo se tutti i coefficienti sono uguali a zero:

P(1) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = c

Da qui ci ricaviamo che il parametro c deve assumere il valore 0 affinché V_c sia un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}_7[t].
Infatti se c fosse diverso da 0 allora sarebbe impossibile ottenere un polinomio nullo che nel punto t = 1 assume il valore 0!

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Quesito 2: Sia S \subseteq V un sottoinsieme qualunque di uno spazio vettoriale V. Dimostra che Span(S) è un sottospazio di V.

Svolgimento 2: Prendiamo l'insieme di k vettori S = (s_1, s_2, ..., s_k) \in V; possiamo a questo punto definire il piano generato da tali vettori come:

Span(S) = \{\alpha_1 s_1, \alpha_2 s_2, ..., \alpha_k s_k \mbox{ } | \mbox{ } \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_k \in \mathbb{R} \}

Dimostriamo quindi che Span(S) è chiuso rispetto alla somma e rispetto al prodotto.

1) La somma di due combinazioni lineari è ancora una combinazione lineare degli stessi vettori.

(\alpha_1 s_1 + \alpha_2 s_2 + ... + \alpha_k s_k) + (\beta_1 s_1 + \beta_2 s_2 + ... + \beta_k s_k)

(\alpha_1 + \beta_1) s_1 + (\alpha_2 + \beta_2) s_2 + ... + (\alpha_k + \beta_k) s_k

Ma il termine generico \alpha + \beta \in \mathbb{R} di conseguenza la prima dimostrazione è fatta!

2) Il prodotto tra un coefficiente reali e una combinazione lineare è ancora una combinazione lineare degli stessi vettori:

\lambda (\alpha_1 s_1 + \alpha_2 s_2 + ... + \alpha_k s_k), \mbox {   } \lambda \in \mathbb{R}

(\lambda \alpha_1) s_1 + (\lambda \alpha_2) s_2 + ... + (\lambda \alpha_k) s_k

Ma il termine generico \lambda \alpha \in \mathbb{R} e così anche la seconda proprietà è dimostrata.

Possiamo quindi concludere che Span(S) è un sottospazio di V.

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Che ne dite emt ?
 
 

Re: Dimostrazioni Sottospazi Vettoriali #1335

avt
Omega
Amministratore
Ciao! Torno di nuovo con due dimostrazioni di Algebra Lineare: voglio essere sicuro che siano fatte al meglio prima di andare avanti


Allora direi che puoi pure andare avanti emt perché...i due svolgimenti sono corretti!

Un sottospazio vettoriale chiaramente continua ad avere le stesse caratteristiche di uno spazio vettoriale quindi è richiesto l'elemento nullo ( nello specifico il polinomio nullo ); un polinomio è nullo se e solo se tutti i coefficienti sono uguali a zero:


Naturalmente. In particolare W\subseteq V è un sottospazio vettoriale se e solo se ha le proprietà seguenti:

-la chiusura rispetto alle operazioni di somma e di prodotto per uno scalare;
-l'appartenenza del vettore nullo 0_{V} dello spazio vettoriale;

Corsi e ricorsi storici, non c'entra un fico secco ma te la butto lì. Uno spazio vettoriale V contiene sempre almeno due sottospazi: sé stesso medesimo e il sottospazio banale \{0\}.

Nello svolgimento dell'esercizio 2), anch'esso corretto, credo solamente ci sia un errore di battitura nella definizione dello Span (mancano le somme). Dico errore di battitura e non errore perché:

1) sei Frank; emt
2) il resto dello svolgimento lascia intendere che hai ben compreso cosa sia lo Span e che tu ci abbia già preso confidenza.

Per questo rilancio con un:

Dimostrare che l'intersezione di due spazi vettoriali è un sottospazio vettoriale di entrambi, mentre in generale l'unione di due spazi vettoriali non è uno spazio vettoriale.
Ringraziano: frank094, Ifrit

Re: Dimostrazioni Sottospazi Vettoriali #1338

avt
frank094
Maestro
Ti ringrazio emt ! Devo ammettere che svolgere un buon numero di dimostrazioni giornaliere ( specie di Algebra Lineare ) rende il compito sempre più facile.

Omega ha scritto:
Nello svolgimento dell'esercizio 2), anch'esso corretto, credo solamente ci sia un errore di battitura nella definizione dello Span (mancano le somme). Dico errore di battitura e non errore perché:

1) sei Frank; emt
2) il resto dello svolgimento lascia intendere che hai ben compreso cosa sia lo Span e che tu ci abbia già preso confidenza.

emt E ti dirò di più: per fortuna c'è il tasto anteprima, altrimenti avrei inviato una dimostrazione dove la somma di due combinazioni lineari sarebbe stata completamente rimpiazzata dalla virgola di due - neanche troppo - combinazioni lineari!

Omega ha scritto:
Per questo rilancio con un:

Dimostrare che l'intersezione di due spazi vettoriali è un sottospazio vettoriale di entrambi, mentre in generale l'unione di due spazi vettoriali non è uno spazio vettoriale.

Assodato che ora non è il caso di avventurarsi in un'altra dimostrazione dato che a stento riesco a capire cosa sto scrivendo, rimando a domani mattina appena sveglio!
Ringraziano: Ifrit

Re: Dimostrazioni Sottospazi Vettoriali #1347

avt
frank094
Maestro
Omega ha scritto:
Dimostrare che l'intersezione di due spazi vettoriali è un sottospazio vettoriale di entrambi, mentre in generale l'unione di due spazi vettoriali non è uno spazio vettoriale.

Adesso sono pronto per provare!

Dimostrazione: Consideriamo due spazi vettoriali generici V e W, iniziamo con il dimostrare che V \cap W è sottospazio vettoriale di entrambi. Analizziamo prima i casi particolari:

V \cap W = O

Poiché l'insieme che contiene il solo vettore nullo è sempre un sottospazio vettoriale, abbiamo finito.

V \subset W \quad \rightarrow \quad V \cap W = V

Poiché ogni insieme è sottospazio di sé stesso, allora l'intersezione è sottospazio di V; per la dimostrazione che lo è anche di W si procede come nel caso generale.

V \cap W = V = W

Poiché ogni insieme è sottospazio di sè stesso, abbiamo finito.

Adesso passiamo ad analizzare il caso generale in cui l'intersezione ci da un insieme S = \{s_1, ..., s_p\}: dobbiamo dimostrare che è anche un sottospazio di entrambi.
Poiché sia V che W ( come già fatto notare in precedenza ) possiedono il vettore nullo O, allora lo conterrà anche l'intersezione.
Dobbiamo dimostrare che l'insieme S è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per scalari; iniziamo:

1) Somma
Prendiamo due elementi appartenenti all'intersezione s_1, s_2 \in V \cap W, allora è chiaro fin da subito che:

a) s_1, s_2 \in V

b) s_1 + s_2 \in V

Questa seconda relazione è giustificata dal fatto che V è uno spazio vettoriale per ipotesi. Analogamente lo si dimostra per l'insieme W .. ma appartenendo la somma ad entrambi allora apparterrà anche all'intersezione.

2) Prodotto per scalare
Prendiamo un elemento s_3 \in V \cap W, e un fattore \lambda \in \mathbb{R}; con un ragionamento analogo al precedente dimostriamo che \lambda s_3 \in V, \lambda s_3 \in W e come conseguenza anche all'intersezione.

Possiamo concludere che l'intersezione di spazi vettoriali è un sottospazio in quanto contiene il vettore nullo ed è chiuso rispetto a somma e prodotto per uno scalare!

-------------------------------- Unione ---------------------------

Consideriamo due spazi vettoriali generici V e W, dimostriam oche V \cup W in generale non è sottospazio vettoriale di entrambi. Partiamo di nuovo dai casi particolari:

V \cup W = V = W

Come già detto in precedenza uno spazio vettoriale è sottospazio di sè stesso, quindi abbiamo trovato un primo caso in cui la dimostrazione non vale.

V \subset W \quad \rightarrow \quad V \cup W = W

Poiché ogni insieme è sottospazio di sé stesso, allora l'unione è sottospazio di W e lo si dimostra essere ( procedendo con il metodo generale ) anche di V.

In generale però abbiamo detto che l'unione non è sottospazio di entrambi; consideriamo l'insieme unione K = V \cup W e dimostriamo che non è necessariamente chiuso rispetto alla somma.

Prendiamo due elementi k_1, k_2 \in K tali da non appartenere entrambi sia a V che a W ( altrimenti si torna al caso particolare ).
La somma k_1 + k_2 proprio per questa ragione non si può dimostrare appartenere necessariamente ad uno degli spazi vettoriali e di conseguenza implica che K non è necessariamente chiuso rispetto alla somma.

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Che ne dici? emt
Ringraziano: Omega, Ifrit

Re: Dimostrazioni Sottospazi Vettoriali #1349

avt
Omega
Amministratore
Ottimo lavoro Frank! emt

Per dimostrare che l'unione di due spazi vettoriali non è uno spazio vettoriale in generale, puoi limitare la dimostrazione alla proposta di un controesempio.

Controesempio: prendiamo in \mathbb{R}^2 i sottospazi dati dagli assi cartesiani:

X=\left\{\alpha(1,0)\mbox{ t. c. }\alpha\in\mathbb{R}\right\}

Y=\left\{\beta(0,1)\mbox{ t. c. }\beta\in\mathbb{R}\right\}

essi sono evidentemente spazi vettoriali monodimensionali, ma la loro unione non è uno spazio vettoriale. Ad esempio

(1,0)\mbox{, }(0,1)\in X\cup Y

ma

(1,0)+(0,1)=(1,1)\notin X\cup Y

Infatti X\cup Y è l'unione degli assi cartesiani e non contiene il vettore (1,1).

Fine del controesempio. emt

Rilancio ancora: prova a dimostrare che il complemento ortogononale di un sottospazio vettoriale W\subseteq V di uno spazio vettoriale V, definito da

W^{\perp}:=\left\{v\in V \mbox{ t. c. }(v,w)=0\mbox{ } \forall w \in W\right\}

(dove (\cdot,\cdot) indica il prodotto scalare definito in V) è un sottospazio vettoriale di V.
Ringraziano: frank094, Ifrit

Re: Dimostrazioni Sottospazi Vettoriali #1350

avt
frank094
Maestro
Omega ha scritto:
Per dimostrare che l'unione di due spazi vettoriali non è uno spazio vettoriale in generale, puoi limitare la dimostrazione alla proposta di un controesempio.

Ne terrò conto la prossima volta ( anche se dimostrare con un controesempio, per quanto valido, non mi ispira granché: devo ancora farci l'abitudine emt ).

Omega ha scritto:
Rilancio ancora: prova a dimostrare che il complemento ortogononale di un sottospazio vettoriale W\subseteq V di uno spazio vettoriale V, definito da

W^{\perp}:=\left\{v\in V \mbox{ t. c. }(v,w)=0\mbox{ } \forall w \in W\right\}

(dove (\cdot,\cdot) indica il prodotto scalare definito in V) è un sottospazio vettoriale di V.

Un po' più difficile ma senza dubbio di grande interesse: ci provo subito!

Dimostrazione: Essenzialmente dobbiamo dimostrare che l'insieme definito da tutti i vettori appartenenti a V ortogonali a quelli di W è sottospazio di V.

E' chiaro che per ipotesi W^{\perp} \subset V, dobbiamo solo dimostrare che il complemento ortogonale contiene il vettore nullo O, è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per scalari.

1) Vettore Nullo
La definizione di W^{\perp} ci dice che contiene tutti i vettori di V ( spazio vettoriale che per definizione contiene O ) tali da essere ortogonali a quelli di W.

Il prodotto scalare tra un qualsiasi vettore w \in W e il vettore nullo da come risultato 0 e questo ne implica l'appartenenza nell'insieme W^{\perp}.

2) Somma
Prendiamo due vettori w_1^{\perp}, w_2^{\perp} \in W^{\perp} e dimostriamo che la loro somma continua ad appartenere allo stesso insieme.
Prendiamo il generico elemento w \in W e notiamo che valgono le relazioni ( indico lo scalare con \cdot ):

w_1^{\perp} \cdot w = 0

w_2^{\perp} \cdot w = 0

Per la somma invece vale

(w_1^{\perp} + w_2^{\perp}) \cdot w = w_1^{\perp} \cdot w + w_2^{\perp} \cdot w = 0 + 0 = 0

E abbiamo così dimostrato che w_1^{\perp} + w_2^{\perp} \in W^{\perp}.

3) Prodotto per scalare
Dato un vettore w_3^{\perp} \in W^{\perp} e un fattore \lambda \in \mathbb{R}, sapendo che

w_1^{\perp} \cdot w = 0

Andiamo a vedere quanto vale il prodotto:

\lambda(w_1^{\perp} \cdot w) = (0)\lambda = 0, \mbox{  } \forall \lambda \in \mathbb{R}


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Abbiamo di conseguenza dimostrato che il complemento ortogonale di un sottospazio di V è anch'esso sottospazio vettoriale di V.

Che ne dici emt ?
Ringraziano: Ifrit, KikaLedZeppelin

Re: Dimostrazioni Sottospazi Vettoriali #1365

avt
Omega
Amministratore
Frank094 ha scritto:
Che ne dici ?

Nice nice proof! emt

Frank094 ha scritto:
Ne terrò conto la prossima volta ( anche se dimostrare con un controesempio, per quanto valido, non mi ispira granché: devo ancora farci l'abitudine ).

Come mai non ti ispira? Tra tutti i modi è quello più lineare e logico possibile. Vuoi dimostrare che una data proprietà non vale in generale: se trovi anche un solo esempio (il controesempio per la proprietà) per cui la proprietà non vale, hai finito... emt

...un risparmio computazionale non indifferente! emt
Ringraziano: frank094, Ifrit

Re: Dimostrazioni Sottospazi Vettoriali #1368

avt
frank094
Maestro
Omega ha scritto:
Nice nice proof! emt

emt bene, ho quasi finito gli esercizi sugli Spazi Vettoriali ( forse tornerò con un'ultima domanda di controllo su quelli difficili in fondo )!

Omega ha scritto:
Come mai non ti ispira? Tra tutti i modi è quello più lineare e logico possibile. Vuoi dimostrare che una data proprietà non vale in generale: se trovi anche un solo esempio (il controesempio per la proprietà) per cui la proprietà non vale, hai finito... emt

...un risparmio computazionale non indifferente! emt

Stavo delirando emt ( a mia difesa ho un po' di febbre emt ), ero sicuro di aver trovato una ragione per cui la dimostrazione per controesempio - sebbene molto bella - non doveva ispirarmi ma, a quanto pare, non solo l'ho completamente rimossa ma non sono neanche sicuro che sia mai esistita!
Probabilmente si tratta di una "non abitudine" in quanto i casi in cui ho dovuto applicare un metodo del genere rasentano lo zero .. pazienza: c'è tempo per farlo!
Ringraziano: Ifrit
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