Calcolare le componenti di un vettore dello spazio

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Calcolare le componenti di un vettore dello spazio #1293

lux

Cerchio

Chiedo il vostro aiuto per calcolare le componenti di un vettore dello spazio di cui conosco la norma, l'ampiezza dell'angolo che il vettore forma con l'asse z, e l'ampiezza dell'angolo che la proiezione ortogonale del vettore sul piano [xy] forma con l'asse x.

Determinare le componenti del vettore $\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)$ sapendo che:

- il modulo di $\vec{v}$ è 4;

- l'ampiezza dell'angolo tra $\vec{v}$ e l'asse

è di 30°;

- la proiezione ortogonale di $\vec{v}$ sul piano

forma un angolo di 60° con l'asse

Calcolare le componenti di un vettore dello spazio #1294

Omega

Amministratore

Sia $\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)$ un vettore dello spazio, e indichiamo con $\vec{v}_{xy}$ la sua proiezione ortogonale sul piano

.

Detti $\theta$ l'angolo tra $\vec{v}$ e l'asse

, e $\phi$ l'angolo tra $v_{xy}$ e l'asse

, le componenti del vettore $\vec{v}$ sono date da:

$\begin{cases}v_x=||\vec{v}||\sin(\theta)\cos(\phi) \\ v_y=||\vec{v}||\sin(\theta)\sin(\phi) \\ v_z=||\vec{v}||\cos(\theta)\end{cases}$

dove $||\vec{v}||$ indica la norma (o il modulo) di $\vec{v}$ .

Dai dati forniti dal testo dell'esercizio sappiamo che:

$||\vec{v}||=4 \ \ ; \ \ \theta=30^{\circ} \ \ ; \ \ \phi=60^{\circ}$

pertanto:

$\begin{cases}v_x=4 \cdot \sin(30^{\circ})\cdot\cos(60^{\circ}) \\ v_y=4\cdot \sin(30^{\circ})\cdot \sin(60^{\circ}) \\ v_z=4 \cdot \cos(30^{\circ})\end{cases}$

Sostituiamo i valori delle funzioni goniometriche

$\begin{cases}v_x=4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \\ \\ v_y=4\cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ v_z=4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}$

e, con qualche semplice conticino, otteniamo le componenti di $\vec{v}$ :

$\begin{cases}v_x=1 \\ v_y=\sqrt{3} \\ v_z=2\sqrt{3}\end{cases}$

Abbiamo finito! Il vettore $\vec{v}$ tale da soddisfare le richieste dell'esercizio è:

$\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)=\left(1, \sqrt{3}, 2\sqrt{3}\right)$ .

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