Calcolare le componenti di un vettore dello spazio

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Calcolare le componenti di un vettore dello spazio #1293

avt
lux
Cerchio
Chiedo il vostro aiuto per calcolare le componenti di un vettore dello spazio di cui conosco la norma, l'ampiezza dell'angolo che il vettore forma con l'asse z, e l'ampiezza dell'angolo che la proiezione ortogonale del vettore sul piano [xy] forma con l'asse x.

Determinare le componenti del vettore \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) sapendo che:

- il modulo di \vec{v} è 4;

- l'ampiezza dell'angolo tra \vec{v} e l'asse z è di 30°;

- la proiezione ortogonale di \vec{v} sul piano [xy] forma un angolo di 60° con l'asse x.
 
 

Calcolare le componenti di un vettore dello spazio #1294

avt
Omega
Amministratore
Sia \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) un vettore dello spazio, e indichiamo con \vec{v}_{xy} la sua proiezione ortogonale sul piano [xy].

Detti \theta l'angolo tra \vec{v} e l'asse z, e \phi l'angolo tra v_{xy} e l'asse x, le componenti del vettore \vec{v} sono date da:

\begin{cases}v_x=||\vec{v}||\sin(\theta)\cos(\phi) \\ v_y=||\vec{v}||\sin(\theta)\sin(\phi) \\ v_z=||\vec{v}||\cos(\theta)\end{cases}

dove ||\vec{v}|| indica la norma (o il modulo) di \vec{v}.

Dai dati forniti dal testo dell'esercizio sappiamo che:

||\vec{v}||=4 \ \ ; \ \ \theta=30^{\circ} \ \ ; \ \ \phi=60^{\circ}

pertanto:

\begin{cases}v_x=4 \cdot \sin(30^{\circ})\cdot\cos(60^{\circ}) \\ v_y=4\cdot \sin(30^{\circ})\cdot \sin(60^{\circ}) \\ v_z=4 \cdot \cos(30^{\circ})\end{cases}

Sostituiamo i valori delle funzioni goniometriche

\begin{cases}v_x=4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \\ \\ v_y=4\cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ v_z=4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}

e, con qualche semplice conticino, otteniamo le componenti di \vec{v}:

\begin{cases}v_x=1 \\ v_y=\sqrt{3} \\ v_z=2\sqrt{3}\end{cases}

Abbiamo finito! Il vettore \vec{v} tale da soddisfare le richieste dell'esercizio è:

\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)=\left(1, \sqrt{3}, 2\sqrt{3}\right).
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Os