Relazione tra dimensione di nucleo e immagine di un'applicazione lineare

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Relazione tra dimensione di nucleo e immagine di un'applicazione lineare #1288

avt
xavier310
Sfera
Ciao ragazzi! emt

Ho un dubbio sulla relazione che sussiste tra la dimensione dell'immagine di un'applicazione lineare definita da una matrice. Ad esempio...

sia A la matrice

 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\2 & 1 & 1\\3 & 1 & 4\\ -1 & -1 & 2  \end{pmatrix}\in M_{4,3}(\mathbb{R})

Riducendo a scala la matrice trovo che essa ha rango - che coincide con la dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare, dato da

rg(A)=dim(Im(LA))=2

Conoscendo la dimensione dell'immagine, si conosce in automatico la dimensione del nucleo dell'applicazione lineare

dim(Ker(LA))=1

Perché? Da cosa si capisce, o da quale teorema si intuisce la relazione che c'è tra dimensione di nucleo e immagine di un'applicazione lineare?
 
 

Relazione tra dimensione di nucleo e immagine di un'applicazione lineare #1291

avt
thejunker
Frattale
Xavier adesso purtroppo sono di fretta, ho giusto il tempo di enunciarti il teorema sulle dimensioni del kernel e dell'immagine


dim(V)\ =\ dim(Ker(f))+ dim(Imm(f))

Quindi essendo V = 3 allora è corretto che Imm abbia dimensione 2 e Ker sia di dimensione 1
Ringraziano: Omega, xavier310

Relazione tra dimensione di nucleo e immagine di un'applicazione lineare #1296

avt
xavier310
Sfera
Perchè V non è uguale a 4?

Relazione tra dimensione di nucleo e immagine di un'applicazione lineare #1311

avt
thejunker
Frattale
Perchè guardi lo spazio di arrivo della funzione. Non quello di partenza!
Ringraziano: xavier310

Relazione tra dimensione di nucleo e immagine di un'applicazione lineare #1314

avt
xavier310
Sfera
E lo spazio di arrivo nella rappresentazione di spazi vettoriali tramite matrice è dato in ogni caso dal numero delle colonne?

Relazione tra dimensione di nucleo e immagine di un'applicazione lineare #1319

avt
thejunker
Frattale
Si viene dato dal numero di colonne.

Relazione tra dimensione di nucleo e immagine di un'applicazione lineare #1334

avt
Omega
Amministratore
Perchè guardi lo spazio di arrivo della funzione. Non quello di partenza!


Chiedo perdono per l'intromissione, ma penso che o tu, TheJunker, intendessi che con V devi guardare lo spazio di partenza e non quello di arrivo, in accordo con il teorema della Nullità più Rango. E in accordo con quanto da te detto giustamente in precedenza.

@ Xavier: Nooo, perchè non hai scritto anche le formulette in LaTeX? emt Hai fatto trenta con la matrice... emt
Ringraziano: thejunker

Relazione tra dimensione di nucleo e immagine di un'applicazione lineare #1341

avt
xavier310
Sfera
Piano piano metterò in pratica il linguaggio LaTex in modo completo il linguaggio LaTex non preoccuparti B)
Ringraziano: Omega

Relazione tra dimensione di nucleo e immagine di un'applicazione lineare #1378

avt
thejunker
Frattale
@omega: chiedo venia, mi sono confuso...

Relazione tra dimensione di nucleo e immagine di un'applicazione lineare #1396

avt
Omega
Amministratore
@TheJunker: nessun problema, sapessi quante volte mi sono confuso io tra righe e colonne...

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Os