Equivalenza di sistemi lineari, matrice non singolare e matrice diagonale

Ciao - ho azzeccato il titolo? - , finalmente ho un po' di tempo ( e questa volta inizio a dedicarmici sul serio, giorno dopo giorno! ) per Algebra Lineare.
In teoria l'esercizio che sto per proporvi l'ho svolto ( sotto metto il procedimento ) ma trattandosi di una delle prime dimostrazioni non sono completamente sicuro di non aver detto qualche sciocchezza .

Se avete metodi alternativi da suggerire fatelo pure, se possibile restando prima degli spazi vettoriali ( diciamo fino alla eliminazione di Gauss )! Vorrei cercare di acquisire più dati possibili su questo genere di esercizi .

Testo: Sia Ax = B un sistema lineare quadrato con matrice A non singolare. Dimostrare che il sistema è equivalente a un sistema lineare quadrato con matrice dei coefficienti diagonale.

Svolgimento: Due sistemi lineari si dicono equivalenti quando hanno lo stesso insieme delle soluzioni. ( Tengo la definizione qui così non me ne dimentico! ).

Iniziamo con il considerare il sistema lineare dato da Ax = B e scriviamolo sotto forma di matrice:


Per ipotesi la matrice A non è singolare, di conseguenza e il sistema ammette un'unica soluzione l'n-upla:


Questa, sostituita alle variabili, verifica il sistema; sappiamo inoltre che un sistema lineare quadrato è equivalente ad un sistema lineare triangolare superiore allora:


E' un sistema che presenta come soluzione la stessa n-upla del sistema lineare precedente:


Da qui risulta che


E così via .. La cosa veramente importante è notare che un sistema lineare diagonale presenta ( per quanto detto precedentemente ) una n-upla di soluzioni che supponiamo, per assurdo, essere diversa da V:


Ma una lineare diagonale tramite una combinazione lineare può risalire alla prima equazione del sistema lineare triangolare superiore ( ponendo ogni parametro reale = 1 per ogni equazione precedente alla prima ) ma questo è assurdo in caso di soluzioni diverse .. ne risulta che



La conclusione in effetti fino a poco fa mi sembrava un po' debole ma dalla diagonale se prendo ogni equazione * 1 e la somma come combinazione lineare alla prima riga mi trovo la prima riga ( scusate la ripetizione ) della triangolare superiore e su questo credo ci piova poco ( senza mai escludere tale eventualità ).

Ciao Frank, il metodo che tu hai provato a dimostrare è lo stesso alla base del calcolo numerico nella risoluzione dei sistemi lineari a matrici dense ( definite così perchè piene di numeri... ),e il metodo in questione è chiamato appunto metodo di eliminazione gaussiana.
Esso dice che dato un sistema associato ad una matrice non singolare si può sempre in un numero definito di passaggi di pivoting arrivare ad un sistema triangolare superiore.Ed è tutto basato sul fatto che effetuare operazioni di combinazione lineare tra righe di matrici e pivoting su di esse non cambia lo spazio di arrivo.
So che avevi chiesto di non entrare negli spazi vettoriali, ma è tutto basato su questo piccolissimo punto .

thejunker ha scritto:


Ciao thejunker, ti ringrazio per la risposta !
Ho finito gli esercizi su Gauss e sono passato agli Spazi Vettoriali quindi fra un po' - bel po' - ( il tempo di vedermi per bene la teoria ) dovrei arrivare al "non cambia lo spazio di arrivo" ( che comunque mi ricorda qualcosa ).
Tuttavia, partendo dal presupposto di sapere già ( tramite dimostrazione precedente ) che combinazioni lineari non cambiano la soluzione finale, la dimostrazione che ho fatto si può ritenere valida?

Ti direi di si, poichè in fin dei conti tu partendo da un sistema con determinate soluzioni vai a creare un sistema triangolare superiore equivalente partendo dalle soluzioni di esso,e scopri che alla finele righe del sistema triangolare non sono altro che particolari combinazioni lineari di quello di partenza.
Ti dico che lo stesso può valere anche per un sistema triangolare inferiore.
Poi naturalmente aspetta il parere degli amministratori che sicuramente ne sanno più di me.