Cambio di base per endomorfismi

Finora ho sempre risolto esercizi in cui veniva chiesto di calcolare la matrice associata a un endomorfismo rispetto alla stessa base di dominio e codominio, ma questa volta le basi di partenza e d'arrivo sono diverse, quindi non so cosa fare.

Scrivere la matrice canonicamente associata all'endomorfismo definito da



Siano i seguenti vettori di



Usando la formula del cambiamento di base scrivere la matrice associata a rispetto alla base del dominio e rispetto alla base canonica del codominio.

La matrice canonicamente associata all'endomorfismo definito da



è la matrice rappresentativa di rispetto alla base canonica di , dove



Questa matrice, che indichiamo con , ha per colonne le immagini mediante dei vettori di .



dunque



Passiamo ora alla parte più delicata dell'esercizio, che assegna una base di



e chiede di calcolare, con la formula del cambiamento di base, la matrice associata a rispetto alla base del dominio e alla base canonica del codominio.

Facciamo un breve ripasso teorico.

Siano due spazi vettoriali finitamente generati su un campo , due basi di e due basi di .

Sia, inoltre, un'applicazione lineare, e indichiamo con la matrice associata a rispetto alle basi .

Per la formula del cambiamento di base per applicazioni lineari, la matrice che rappresenta rispetto alle basi è data dal seguente prodotto tra matrici



dove:

è la matrice di cambiamento di base da a ;

è l'inversa della matrice di passaggio dalla base alla base

Tornando all'esercizio, abbiamo che



di conseguenza, per la formula del cambiamento di base applicata all'endomorfismo possiamo asserire che



Osserviamo che è la matrice identità di ordine tre, che è l'elemento neutro del prodotto tra matrici, e, infine,

Alla luce di ciò:



La matrice l'abbiamo già calcolata, mentre , ossia la matrice di passaggio da alla base canonica di , ha per colonne i vettori di



In definitiva:



Abbiamo finito!