Cambio di base per endomorfismi

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Cambio di base per endomorfismi #10934

avt
toyo10
Frattale
Finora ho sempre risolto esercizi in cui veniva chiesto di calcolare la matrice associata a un endomorfismo rispetto alla stessa base di dominio e codominio, ma questa volta le basi di partenza e d'arrivo sono diverse, quindi non so cosa fare.

Scrivere la matrice canonicamente associata all'endomorfismo T:R^3 → R^3 definito da

T(x,y,z) = (2x, y+z, y-z)

Siano v_1, v_2, v_3 i seguenti vettori di R^3

v_1 = (0,1,0) ; v_2 = (2,1,0) ; v_3 = (1,0,1)

Usando la formula del cambiamento di base scrivere la matrice associata a T rispetto alla base mathcalB = v_1, v_2, v_3 del dominio e rispetto alla base canonica del codominio.
Ringraziano: Shamat
 
 

Cambio di base per endomorfismi #10935

avt
Omega
Amministratore
La matrice canonicamente associata all'endomorfismo T:R^3 → R^3 definito da

T(x,y,z) = (2x, y+z, y-z)

è la matrice rappresentativa di T rispetto alla base canonica mathcalC di R^3, dove

 mathcalC = e_1, e_2, e_3 = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)

Questa matrice, che indichiamo con A_T^(mathcalC), ha per colonne le immagini mediante T dei vettori di mathcalC.

 T(e_1) = T(1,0,0) = (2,0,0) ; T(e_2) = T(0,1,0) = (0,1,1) ; T(e_3) = T(0,0,1) = (0,1,-1)

dunque

A_T^(mathcalC) = [2 0 0 ; 0 1 1 ; 0 1 -1]

Passiamo ora alla parte più delicata dell'esercizio, che assegna una base di R^3

 mathcalB = v_1, v_2, v_3 = (0,1,0), (2,1,0), (1,0,1)

e chiede di calcolare, con la formula del cambiamento di base, la matrice associata a T rispetto alla base mathcalB del dominio e alla base canonica del codominio.

Facciamo un breve ripasso teorico.

Siano V,W due spazi vettoriali finitamente generati su un campo K, mathcalB_V, mathcalB'_(V) due basi di V e mathcalB_W, mathcalB'_(W) due basi di W.

Sia, inoltre, T: V → W un'applicazione lineare, e indichiamo con A_T^(mathcalB_V, mathcalB_W) la matrice associata a T rispetto alle basi mathcalB_V, mathcalB_W.

Per la formula del cambiamento di base per applicazioni lineari, la matrice che rappresenta T rispetto alle basi mathcalB'_V, mathcalB'_W è data dal seguente prodotto tra matrici

A_T^(mathcalB'_V, mathcalB'_W) = M_(mathcalB_W → mathcalB'_W)·A_T^(mathcalB_V, mathcalB_W)·(M_(mathcalB_V → mathcalB'_V))^(-1)

dove:

M_(mathcalB_W → mathcalB'_W) è la matrice di cambiamento di base da mathcalB_W a mathcalB'_W;

(M_(mathcalB_V → mathcalB'_V))^(-1) è l'inversa della matrice di passaggio dalla base mathcalB_V alla base mathcalB'_V

Tornando all'esercizio, abbiamo che

 V = W = R^3 ; mathcalB_V = mathcalB_W = mathcalC ; mathcalB'_V = mathcalB = v_1, v_2, v_3 ; mathcalB'_W = mathcalC

di conseguenza, per la formula del cambiamento di base applicata all'endomorfismo T possiamo asserire che

A_T^(mathcalB, mathcalC) = M_(mathcalC → mathcalC)·A_T^(mathcalC, mathcalC)·(M_(mathcalC → mathcalB))^(-1)

Osserviamo che M_(mathcalC → mathcalC) è la matrice identità di ordine tre, che è l'elemento neutro del prodotto tra matrici, A_T^(mathcalC, mathcalC) = A_T^(mathcalC) e, infine, (M_(mathcalC → mathcalB))^(-1) = M_(mathcalB → mathcalC)

Alla luce di ciò:

A_T^(mathcalB, mathcalC) = A_T^(mathcalC)·M_(mathcalB → mathcalC)

La matrice A_T^(mathcalC) l'abbiamo già calcolata, mentre M_(mathcalB → mathcalC), ossia la matrice di passaggio da mathcalB alla base canonica di R^3, ha per colonne i vettori di mathcalB

M_(mathcalB → mathcalC) = [0 2 1 ; 1 1 0 ; 0 0 1]

In definitiva:

 A_T^(mathcalB, mathcalC) = A_T^(mathcalC)·M_(mathcalB → mathcalC) = [2 0 0 ; 0 1 1 ; 0 1 -1] [0 2 1 ; 1 1 0 ; 0 0 1] = [0 4 2 ; 1 1 1 ; 1 1 -1]

Abbiamo finito!
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, CarFaby, Shamat
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Os