Domande su matrici ! ! ! !

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Domande su matrici ! ! ! ! #1061

avt
povi
Frattale
Volevo fare delle domande sulle matrici :
1) Se ho un sistema di vettori come faccio a capire se è indipendente o dipendente? Lo metto sotto forma di matrice, lo riduco a scalini e poi? Inoltre il numero di Pivot mi fa capire se è un sistema massimale?E come?

2)Dato un sistema di R4 una volta trasformato in matrice e ridotto a scalini, come faccio ad estrarre una base di R2 oppure a completarla in R6???
Grazie mille.
 
 

Re: Domande su matrici ! ! ! ! #1062

avt
thejunker
Frattale
Ciao, per quanto riguarda la prima parte della tua domanda, dato un sistema di vettori essi sono linearmente indipendenti se

\alpha{(v_1)}+\beta{(v_2)}+\dots+\omega{(v_n)}=(0,0,\ \dots\ ,0)

Se e solo se \alpha,\beta,\ \dots\ ,\omega sono uguali a 0.
Quindi non ti resta che provare a vedere se uno dei coefficienti è diverso da zero.Nel tuo caso, ti accorgi se è indipendente perchè avrà rango max, infatti se per caso nell'operazione di riduzione una delle tue righe diventasse una riga di solo zeri, allora puoi sicuramente dire che quella riga è linearmente dipendente dalle altre.
Inoltre esso sarà sia massimale che minimale infatti


  • è minimale poichè se togli un generatore esso non genererà più tutto lo spazio
  • è massimale infatti qualunque vettore base andrai ad aggiungere esso sarà sicuramente una combinazione lineare degli altri già presenti

Quindi il tuo numero di pivot, o a dir si voglia il tuo numero di righe non nulle (infatti ottieni lo stesso risultato), ti da il massimo numero di vettori linearmente indipendenti che sono basi e generatori dello spazio.
Ringraziano: povi

Re: Domande su matrici ! ! ! ! #1063

avt
povi
Frattale
Quindi se il rango è massimo il sistema è indipendente ?E se c'è una riga tutta uguale a zero vuol dire che è dipendente, poiché il rango non sarebbe massimo. Giusto?

Re: Domande su matrici ! ! ! ! #1064

avt
Alpha
Cerchio
1. Per quanto riguarda l'indipendenza lineare di un sistema di vettori ti conviene scriverli come colonne di una matrice e calcolarne il rango. Se il rango è massimale allora sono linearmente indipendenti. Trasformare la matrice a scala è lungo, spesso più lungo del calcolo del rango. D'altra parte, il numero di pivot della matrice a scala coincide proprio con il rango della matrice stessa. Quindi i due metodi sono equivalenti, calcoli il rango con i determinanti, oppure riscrivi la matrice a scala e conti i pivot.
Il sistema di vettori linearmente indipendenti è massimale se il loro numero coincide proprio con la dimensione dello spazio che stai considerando, cioè se il numero di elementi pivotali della matrice coincide con la dimensione dello spazio.

Dunque una base di R3 sarà formata da 3 vettori linearmente indipendenti, di R4 da quattro vettori linearmente indipendenti,...infatti considerando le basi canoniche di questi spazi ottieni proprio matrici con 3, 4,... pivot.


2. Con sistema di R4 intendi un sistema lineare in quattro equazioni e quattro incognite? Oppure una base di R4?
Ringraziano: povi, CarFaby

Re: Domande su matrici ! ! ! ! #1065

avt
povi
Frattale
Per la seconda intendo delle basi di R

Re: Domande su matrici ! ! ! ! #1066

avt
thejunker
Frattale
esatto infatti

\left(\begin{matrix}1\ 0\ 3 \\0\ 2\ 0\\0\ 0\ 5\end{matrix}\right)

Essa è ridotta per righe, o a scalini, e ha rango massimo infatti le righe non linearmente dipendenti sono 3.
Altro esempio

\left(\begin{matrix}1\ 0\ 3\\0\ 2\ 0\\2\ 0 \ 6\end{matrix}\right)
diventa con opportuni calcoli( emt )

\left(\begin{matrix}1\ 0\3\\0\ 2\ 0\\0\ 0\ 0\end{matrix}\right)

E come puoi ben vedere il rango non è max, infatti è 2, questo è dovuto al fatto che la terza riga dei componenti del vettore è linearmente dipendente dalla 1°.Infatti basta moltiplicare la prima per 2 è ottieni la 3.
Ringraziano: povi, CarFaby

Re: Domande su matrici ! ! ! ! #1068

avt
povi
Frattale
Ok grazie mille ,ora mi è chiaro la prima domanda emt , ma la seconda xD?

Re: Domande su matrici ! ! ! ! #1069

avt
thejunker
Frattale
Per la seconda è meglio che aspetti che qualcuno molto più preparato di me ti risponda, perchè non vorrei dirti castronerie... mi spiace non poterti aiutare più di così
Ringraziano: povi
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Os