Angoli tra vettori

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Angoli tra vettori #10374

avt
domenico
Punto
Vorrei capire come si definisce e come si calcola l'angolo tra due vettori. Potreste riportare la definizione, la formula per il calcolo dell'angolo tra vettori e applicarla per risolvere il seguente esercizio?

Considerati i punti A(3,2), \ B(4,3) \mbox{ e } C(5,3) trovare l'angolo tra il vettore \overrightarrow{AB} e il vettore \overrightarrow{BC}
 
 

Re: Angoli tra vettori #10383

avt
Ifrit
Amministratore
Si definisce angolo tra vettori l'angolo convesso formato da due rappresentanti dei vettori in esame aventi lo stesso punto di applicazione.

Per fissare le idee consideriamo due qualsiasi vettori non nulli \vec{u} \mbox{ e } \vec{v}, e siano \overrightarrow{OP_1} \mbox{ e } \overrightarrow{OP_2} due loro rappresentanti aventi lo stesso punto di applicazione.

angolo tra vettori


L'angolo \theta \in [0, \pi] prende il nome di angolo tra i vettori \vec{u} \mbox{ e } \vec{v}.

Come calcolare l'angolo tra vettori

Indicando con \cdot il prodotto scalare euclideo tra vettori e con || \ || la relativa norma indotta, allora

\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \ ||\vec{v}||\cos(\theta)

Invertendo la precedente formula in favore di \cos(\theta) si ottiene la formula per calcolare l'angolo tra i due vettori

\cos(\theta)=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \ ||\vec{v}||}


Esempio

Risolviamo l'esercizio e calcoliamo l'angolo tra i vettori \overrightarrow{AB} \mbox{ e } \overrightarrow{BC} sapendo che A(3,2), \ B(4,3) \mbox{ e } C(5,3).

La prima cosa da fare è determinare le componenti dei due vettori

\\ \overrightarrow{AB}=B-A=(4,3)-(3,2)=(1,1) \\ \\ \overrightarrow{BC}=C-B=(5,3)-(4,3)=(1,0)

dopodiché calcoliamo il prodotto scalare tra i due vettori e le relative norme

\\ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=(1,1) \cdot (1,0) = (1)(1)+(1)(0)=1 \\ \\ ||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{(1)^2+(1)^2}=\sqrt{2} \\ \\ ||\overrightarrow{BC}||=\sqrt{(1)^2+(0)^2}=\sqrt{1}=1

Possiamo poi applicare la formula

\cos(\theta)=\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}{||\overrightarrow{AB}|| \ ||\overrightarrow{BC}||} = \frac{1}{\sqrt{2}}

Nell'intervallo [0,\pi] l'equazione goniometrica elementare

\cos(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}

ammette come soluzione

\theta = \frac{\pi}{4}

dunque i due vettori formano un angolo di 45°.
Ringraziano: Pi Greco, domenico
  • Pagina:
  • 1
Os