Base dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo

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Base dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo #1034

avt
xavier310
Sfera
Buonasera, cortesemente potreste aiutarmi a capire la soluzione di questo esercizio su un sistema lineare non omogeneo rispondendo alle domande fatte da me tra le parentesi [...]?:

L'esercizio riguarda il calcolo di una base dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo, questo

A\left[\begin{matrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{matrix}\right]=\left\{\begin{matrix}x_{1}-x_{2}=3\\ \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\end{matrix}

e chiede di descrivere geometricamente Span(A), e trovane una base dello spazio delle soluzioni.

Soluzione. Il sistema assegnato ammette soluzioni tutti e soli i punti della retta di equazioni

x_1=3+t\mbox{, }x_2=t\mbox{, }x_3=-(2t+3)

[perchè?].

Il sottospazio generato da A è allora il piano π [ancora perchè? :( ] che contiene A e l'origine [sapreste dirmi perchè?] emt
 
 

Base dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo #1035

avt
Omega
Amministratore
Ehi Xavier, dato che sei un fisico posso darti un consiglio? Prova ad usare LaTex, che è richiestissimo tra gli universitari MM.FF.NN...e che è anche più veloce da usare appena ci prendi la mano emt

Base dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo #1036

avt
xavier310
Sfera
Hai ragione emt spero di impararlo in fretta ad usarlo

Base dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo #1037

avt
Omega
Amministratore
Intanto, in attesa che qualcuno arrivi a darci il suo contributo, modifico il tuo post scrivendo le formule in LaTeX emt

Base dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo #1041

avt
hagrid_ilbotto
Cerchio
Il testo dell'esercizio non è molto chiaro.. proviamo ad interpretarlo così:
sia A la matrice
 \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\1 & 1 & 1  \end{pmatrix}

Descrivere span(A) nel senso di spazio generato dalle righe, che però è uno spazio vettoriale per cui non si capisce cosa significhi mettere nel sistema come termine noto qualcosa di diverso da zero. Comunque, per verificare che le soluzioni del tuo sistema sono date da quella retta è sufficiente esplicitare  x_1 e  x_3 in funzione di  x_2 e porre quest'ultimo come t.

Per quanto riguarda lo span(A), che essendo una matrice 2x3 rappresenta un'applicazione lineareA: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2, è tutto  \mathbb{R}^2 poichè il rango è massimo (2 righe linearmente indipendenti). Non si capisce cosa voglia dire il piano che contiene A che è una matrice, quindi non sappiamo come interpretare l'ultima frase! :(
Ringraziano: Omega, xavier310, CarFaby

Base dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo #1042

avt
giacomo22
Frattale
Lo so che può apparire non chiaro ma sul mio libro la prima parte della soluzione è esattamente scritta così e sto cercando di capire cosa significhi. Spero che qualcun'altro mi possa aiutare a comprendere questo esercizio

Comunque ti ringrazio della disponibilità hagrid_ilbotto emt
Ringraziano: xavier310

Base dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo #1043

avt
giacomo22
Frattale
P.S. sono il fratello di Xavier emt

Base dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo #1045

avt
Ifrit
Ambasciatore
Per come la vedo io bisognerebbe determinare lo span della famiglia dei vettori:

A:=\left\{\mathbf{x}=\left[\begin{matrix}x_1\\ x_2\\x_3\end{matrix}\right]\in \mathbb{R}^3:  x_1-x_2=3, x_1+x_2+x_3=0\right\}


Che ne pensate?
Ringraziano: Omega, xavier310, CarFaby

Base dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo #1047

avt
xavier310
Sfera
Quindi determinando lo span della famiglia dei vettori di A come interpreti la soluzione?

Base dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo #1049

avt
hagrid_ilbotto
Cerchio
Se è come dice Ifrit allora l'interpretazione geometrica è quella della retta , in quanto quelle sono equazioni cartesiane di una retta affine, e non salta fuori il piano di cui si parla nella soluzione.
Si potrebbe avere il testo esatto dell'esercizio ?
Ringraziano: Omega, xavier310, CarFaby
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