Come fare una dimostrazione di Algebra Lineare?

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Come fare una dimostrazione di Algebra Lineare? #1026

avt
MaryADC90
Frattale
Salve a tutti ragazzi! Finalmente ho capito (più o meno) quello che dovrò studiare per l'esame di Matematica I: gli argomenti riguardano tutti l'algebra lineare, dagli elementi di logica delle proposizioni e dei predicati, alla teoria degli insiemi, alle funzioni, agli spazi vettoriali, alle matrici, alla geometria euclidea.

Il guaio non è tanto questo quanto che l'esame è scritto e orale e già allo scritto ci darà qualche quesito in cui ci chiederà di fare delle dimostrazioni!

Per fare un esempio, l'ultimo argomento sono state le basi degli spazi vettoriali e ci ha chiesto di dimostrare perché le 3 proposizioni seguenti sono equivalenti: dato uno spazio vettoriale V

1) B è base di V;

2) B è parte libera massimale di V;

3) B è insieme di generatori minimale di V.

Sarò idiota ma io queste dimostrazioni non le so fare, su nessun argomento! Un pò perchè ho fatto il classico e da noi non esistevano le dimostrazioni, dall'altro perché non sono sicura di aver capito bene gli argomenti.

Mi sembra di aver capito a livello teorico ma poi quando guardo le tracce degli esercizi del libro mi cadono le braccia!

Domani dopo la lezione mi fermerò per un pochino di tutorato, ma nel frattempo potreste darmi qualche consiglio per capire come fare le dimostrazioni? Non riesco nè a farle con il metodo induttivo né per assurdo. Aiuto! Se non passo matematica I non posso fare più niente al secondo semestre mi sento già depressa. :(
 
 

Come fare una dimostrazione di Algebra Lineare? #1028

avt
thejunker
Frattale
ciao mary
Per quanto riguarda la prima proposizione cioè B è base di Vnon è esiste una vera è propria dimostrazione infatti per definizione

Dato  V,K-spaziovettoriale, una base è un insieme ordinato
\{\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2},...,\overrightarrow{u_n}\}
di vettori \in\ Vche sono generatori e anche linearmente indipendenti

Naturalmente da questa definizione conseguono logicamente le altre, infatti ad esempio la 3°, se la provi a negare vai in contraddizione con la definizione di base, poichè allora i tuoi generatori non sono linearmente indipendenti oppure non saranno in numero minimo.

Come fare una dimostrazione di Algebra Lineare? #1082

avt
MaryADC90
Frattale
Grazie mille...
quindi in pratica devo iniziare ad imparare il meccanismo delle dimostrazioni! se non faccio gli esercizi non posso capirlo... questo che mi hai scritto in ogni caso mi è chiaro quindi ti ringrazio molto emt

Come fare una dimostrazione di Algebra Lineare? #1088

avt
thejunker
Frattale
Se vuoi ti dico inoltre che i generatori di uno spazio vettoriale sono la parte massimale in quanto qualunque vettore tu vada ad aggiungere esso sarà sicuramente una combinazione lineare di quelli già presenti.Mentre la base è minimale poichè qualunque vettore tu vada a "togliere" dall'insieme, non generari più quel determinato spazio.
In parole spicce, se hai uno spazio di dimensione 2 avrai due generatori

span(A)=(1\ 0,\0\ 1)

Infatti se tu ad esso vai ad aggiungere un vettore esempio (2,3) esso sarà sicuramente combinazione lineare di quei due con parametri 2 e 3.
Se invece vai a togliere un vettore es:(1,0) ottieni

span(A)=(0\ 1)

Ma questo non rappresenta più uno spazio di dimensione 2, bensì uno di dimensione 1( per intenderci una retta).


Cmq questi sono considerati quasi assiomi, non esistono vere e proprie dimostrazioni su di essi, una piccola dimostrazione può essere quella che ti ho appena scritto emt
Ringraziano: Omega, CarFaby

Come fare una dimostrazione di Algebra Lineare? #1104

avt
Omega
Amministratore
Mi permetto di fare una piccola precisazione: in verità esistono delle dimostrazioni di tutti questi risultati, credo che Thejunker intendesse dire che sono così basilari che dopo un po' di tempo vengono elevate ad "assiomi".

Per i Matematici lo standard consiste nel dimenticare tutti i dettagli delle dimostrazioni studiate in passato, per due motivi:

- il primo è che si libera spazio disco emt
- il secondo (quello serio) è che il metodo di studio definitivo di una dimostrazione è semplicemente l'acquisizione di un nuovo meccanismo logico, che si suppone nel seguito abilità acquisita per sempre. Non ha importanza di quale risultato parli, conta solo quale strumento (logico) è stato utilizzato per raggiungere l'obbiettivo.

Per arrivare a questo punto, però, ne deve passare di acqua sotto i ponti!

Un consiglio è il seguente: iniziare lo studio delle dimostrazioni affidandosi al 90% alla mera memoria e al 10% al ragionamento.

Proseguire con lo scopo di invertire le due percentuali.

Focalizzare l'attenzione e concentrarsi sempre di più su uno specifico meccanismo. Non farsi distrarre dal fatto che, di tutto il resto, non ci stai capendo un fico secco.

Allenare l'attenzione. Una dimostrazione può contenere 10 diverse strategie, inizia col farne tua una sola e impara le restanti a memoria.

Incontrerai quella strategia, semi-acquisita, di nuovo: reitera. Prendine ulteriore possesso.

Poi acquisiscila totalmente. Passa ad una nuova dimostrazione: incontrerai ancora quella strategia acquisita, che non comporterà più alcun problema. Acquisiscine un'altra.

Dopo un (bel) po' cosa succederà? Che studierai dieci teoremi alla volta, vedendo in modo sempre più chiaro il quadro di insieme. Nove di questi teoremi, che parlano di argomenti mai visti prima, te li divorerai in un boccone. Definizioni, lemmi, teoremi, corollari: nessun problema. Il decimo teorema andrà liscio fino ad un qualche punto - conosci molti meccanismi e ormai sai cavartela - tranne un piccolo passaggio apparentemente idiota che nasconde dentro di sé un microcosmo di ragionamenti.

Ci perdi mezza giornata.

Ci perdi una settimana.

Ci arrivi.

Hai acquisito un nuovo meccanismo logico. Reitera... emt

Nella fattispecie, ti do una dritta sul metodo di dimostrazione dell'equivalenza dei tre asserti: invece di dimostrare le equivalenze

1\Leftrightarrow 2\mbox{ e }2\Leftrightarrow 3\mbox{ e }3\Leftrightarrow 1

puoi limitarti a dimostrare

1\Rightarrow 2\mbox{ e }2\Rightarrow 3\mbox{ e }3\Rightarrow 1

(un bel risparmio computazionale emt ). Quando dimostri una implicazione specifica, dimentica tutto il resto. Pensa solo da dove stai partendo (ipotesi), sfrutta le definizioni di cui disponi fino all'osso, e ricordati sempre dove devi arrivare.

Tutto questo parlando da un punto di vista puramente astratto, si intende. Nello specifico gli esempi fatti da Thejunker ti forniscono dei buoni suggerimenti. Ti resta solo da portarli al livello del generico.

Spazio pubblicità: parlando di Algebra Lineare, prova a guardare tra le domande e le risposte che trovi qui.
Ringraziano: frank094, luciaaa

Come fare una dimostrazione di Algebra Lineare? #1114

avt
MaryADC90
Frattale
*_* risposta più che esauriente grazie mille Omega!
Giustamente hai ben afferrato il problema, io proprio non so dove mettere le mani, quindi devo sforzarmi di fare le dimostrazioni sfruttando le definizioni il più possibile senza perdere di vista cos'è che devo provare!
Ci vorrà molto tempo e probabilmente mi costerà anche la ripetizione dell'esame che ho saputo sarà il 6 febbraio.
L'importante però è riuscirci emt
Seguirò i consigli e darò una generosa occhiata agli argomenti che hai "pubblicizzato" postando il link appena potrò, tra poco ho lezione emt
Io inizio a fare e poi ti faccio sapere come procede.
@Thejunker grazie ancora, mi trovo con il ragionamento perchè è anche quello che ha fatto il prof... cominciando da questi primi step pian piano mi sforzerò di andare avanti emt la matematica non dev'essere più un mistero per me, deve diventare una passeggiata come per ora lo è la statistica emt
Ringraziano: thejunker
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Os