Esercizio: applicazione in uno spazio di matrici: verifica prodotto scalare definito positivo e norme di più matrici

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Esercizio: applicazione in uno spazio di matrici: verifica prodotto scalare definito positivo e norme di più matrici #10106

avt
Brin
Frattale
Sono bloccato da giorni su un esercizio sul prodotto scalare su uno spazio di matrici e sulla sua norma indotta. Data un'applicazione dovrei verificare che è un prodotto scalare definito positivo, definire la norma indotta e calcolare le norme di tre matrici. Purtroppo non ho nessuna dimestichezza con questo genere di prodotti scalari, quindi mi affido a voi.

Sia data la seguente matrice

P=\begin{pmatrix}2&0 \\ 0&1\end{pmatrix}

e sia \langle \ , \ \rangle : M_2(\mathbb{R}) \times M_2(\mathbb{R}) \to \mathbb{R} l'applicazione definita da

\langle A,B \rangle = \mbox{tr}(B^T P A)

Dimostrare che \langle \ , \ \rangle è un prodotto scalare definito positivo, esplicitare la norma indotta e calcolare le norme delle matrici

C=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ -1 & 1\end{pmatrix} \ \ ; \ \ D=\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & -1\end{pmatrix} \ \ ; \ \ E=\begin{pmatrix}3 & -2 \\ -1 & 3\end{pmatrix}
Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094, Ifrit, matteo
 
 

Esercizio: applicazione in uno spazio di matrici: verifica prodotto scalare definito positivo e norme di più matrici #10108

avt
Omega
Amministratore
È noto che \langle \ , \ \rangle è un'applicazione tale che

\langle A,B \rangle = \mbox{tr}(B^T P A)

dove A,B \in M_2(\mathbb{R}) sono due qualsiasi elementi dello spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine due a elementi reali, P è la matrice

P=\begin{pmatrix}2&0 \\ 0&1\end{pmatrix}

e \mbox{tr} indica la traccia di una matrice, definita come la somma degli elementi della diagonale principale.

Ci viene chiesto di dimostrare che \langle \ , \ \rangle è un prodotto scalare, che è definito positivo, di definire la norma indotta e di calcolare le norme delle matrici

C=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ -1 & 1\end{pmatrix} \ \ ; \ \ D=\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & -1\end{pmatrix} \ \ ; \ \ E=\begin{pmatrix}3 & -2 \\ -1 & 3\end{pmatrix}


Verifica prodotto scalare

L'applicazione \langle \ , \ \rangle è un prodotto scalare su M_2(\mathbb{R}) se è lineare rispetto alla prima componente e se è simmetrica, ossia se per ogni A,B,C \in M_2(\mathbb{R}) e per ogni a,b \in \mathbb{R}:

\\ \langle aA+bB, C\rangle = a\langle A,C\rangle + b\langle B,C\rangle \\ \\ \langle A,B\rangle = \langle B,A\rangle

Siano, allora, A,B,C \in M_2(\mathbb{R}) e a,b \in \mathbb{R}.

Da com'è definita l'applicazione \langle \ , \ \rangle segue che

\langle aA+bB, C\rangle = \mbox{tr} (C^T P (aA+bB)) =

per la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma

=\mbox{tr}(C^T P aA + C^T P bB)=

la traccia di una somma di matrici è uguale alla somma delle tracce

=\mbox{tr}(C^T P a A) + \mbox{tr}(C^T P bB) =

per un'altra proprietà della traccia

\\ =a \ \mbox{tr}(C^T P A) + b \ \mbox{tr}(C^T P B) = \\ \\ =a\langle A,C\rangle + b\langle B,C\rangle

Abbiamo così dimostrato la linearità rispetto alla prima componente. Verifichiamo la simmetria:

\langle A,B\rangle = \mbox{tr}(B^T P A)=

la traccia di una matrice è uguale alla traccia della trasposta

=\mbox{tr}\left(\left(B^T P A\right)^T\right)=

per la proprietà associativa del prodotto tra matrici

=\mbox{tr}\left(\left(\left(B^T P\right) A\right)^T\right)=

la trasposta del prodotto è uguale al prodotto tra la trasposta della seconda e la trasposta della prima

=\mbox{tr}\left(A^T \left(B^T P\right)^T\right)=

sempre per la proprietà di trasposizione di un prodotto

=\mbox{tr}\left(A^T P^T B\right)=

P è una matrice simmetrica, per cui P^T=P

=\mbox{tr}(A^T P B) = \langle B,A\rangle

Ciò prova la simmetria dell'applicazione \langle \ ,\ \rangle che, di conseguenza, è un prodotto scalare su M_2(\mathbb{R}).


Verifica della definita positività

\langle \ ,\ \rangle è un prodotto scalare definito positivo se e solo se

\langle A, A \rangle >0 \ \ \forall A \in M_2(\mathbb{R}), \ A \neq O_2

ossia se e solo se il prodotto scalare di una qualsiasi matrice non nulla di M_2(\mathbb{R}) con se stessa è positivo.

Prendiamo, allora, una qualsiasi matrice non nulla di M_2(\mathbb{R}):

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}

e calcoliamo il prodotto scalare \langle A, A \rangle:

\langle A, A \rangle = \mbox{tr}(A^TPA) = \\ \\ \mbox{tr}\left[\begin{pmatrix}a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0 \\ 0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\right]=

dopo aver svolto i prodotti tra matrici

=\mbox{tr}\begin{pmatrix}2a_{11}^2+a_{21}^2 && 2a_{11}a_{12}+a_{21}a_{22} \\ \\ 2a_{12}a_{11}+a_{22}a_{21} && 2a_{12}^2+a_{22}^2\end{pmatrix}=

calcoliamo la traccia

=2a_{11}^2+a_{21}^2+2a_{12}^2+a_{22}^2

In definitiva:

\langle A,A \rangle = 2a_{11}^2+a_{21}^2+2a_{12}^2+a_{22}^2

è la somma di quattro quadrati, per cui è positivo per ogni A \neq O_2 ed è nullo se e solo se

a_{11}=a_{12}=a_{21}=a_{22}=0

ossia se e solo se A è la matrice nulla.

Da ciò segue che \langle \ ,\ \rangle è definito positivo.


Norma indotta dal prodotto scalare

C'è ben poco fare. Poiché \langle \ ,\ \rangle è definito positivo possiamo definire la norma da esso indotta, che è la funzione

|| \cdot ||:M_2(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^+ \cup \{0\}

che a ogni matrice A \in M_2(\mathbb{R}) associa il numero reale non negativo dato dalla radice quadrata del prodotto scalare di A con se stessa

||A||=\sqrt{\langle A, A \rangle}

In generale, se

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}

abbiamo già visto che

\langle A,A \rangle = 2a_{11}^2+a_{21}^2+2a_{12}^2+a_{22}^2

dunque

||A||=\sqrt{\langle A, A \rangle}=\sqrt{2a_{11}^2+a_{21}^2+2a_{12}^2+a_{22}^2}


Calcolo della norma di alcune matrice

Abbiamo tutti gli strumenti necessari per calcolare le norme delle matrici

C=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ -1 & 1\end{pmatrix} \ \ ; \ \ D=\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & -1\end{pmatrix} \ \ ; \ \ E=\begin{pmatrix}3 & -2 \\ -1 & 3\end{pmatrix}

Calcoliamole una per volta.

\\ ||C||=\sqrt{2c_{11}^2+c_{21}^2+2c_{12}^2+c_{22}^2} = \\ \\ = \sqrt{2 \cdot 2^2 + (-1)^2 + 2 \cdot 1^2 + 1^2} = \sqrt{12}=2\sqrt{3}

Analogamente

\\ ||D||=\sqrt{2d_{11}^2+d_{21}^2+2d_{12}^2+d_{22}^2} = \\ \\ = \sqrt{2 \cdot 0^2 + 1^2 + 2 \cdot (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4}=2

Infine

\\ ||E||=\sqrt{2e_{11}^2+e_{21}^2+2e_{12}^2+e_{22}^2} = \\ \\ = \sqrt{2 \cdot 3^2 + (-1)^2 + 2 \cdot (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{36}=6

Abbiamo finito!
Ringraziano: Pi Greco, frank094, Brin
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Os