Matrice associata a un'applicazione in forma esplicita col cambiamento di base

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Matrice associata a un'applicazione in forma esplicita col cambiamento di base #100765

avt
Poisgh23
Punto
Un esercizio assegna un'applicazione lineare in forma esplicita da R^3 in R^2 e chiede di calcolare la matrice associata rispetto a due basi con la formula del cambiamento di base. Vi garantisco che ho letto un sacco di volte la parte teorica, ma il mio libro è davvero confusionario e non ci ho capito granché.

Si consideri l'applicazione lineare f:R^3 → R^2 definita da

f(x,y,z) = (x-y+z, 2x-3y)

Si determini la matrice che rappresenta f rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio e, con la formula del cambiamento di base, si calcoli la matrice associata a f rispetto alle basi

 mathcalB = (1,1,1), (1,1,0), (0,1,0) ; mathcalB'= (1,1), (2,0)
 
 

Matrice associata a un'applicazione in forma esplicita col cambiamento di base #100769

avt
Ifrit
Amministratore
Prima di risolvere l'esercizio è opportuno richiamare la formula del cambiamento di base per applicazioni lineari nella sua forma generale, per poi adattarla all'esercizio.

Indichiamo con V,W due spazi vettoriali finitamente generati su un campo K, con mathcalB_V, mathcalB'_(V) due basi di V e con mathcalB_W, mathcalB'_(W) due basi di W.

Siano, poi, f: V → W un'applicazione lineare, e A_f^(mathcalB_V, mathcalB_W) la matrice associata a f rispetto alle basi mathcalB_V, mathcalB_W.

La formula del cambiamento di base per applicazioni lineari asserisce che la matrice rappresentativa di f rispetto alle basi mathcalB'_V, mathcalB'_W è data dal seguente prodotto tra matrici

A_f^(mathcalB'_V, mathcalB'_W) = M_(mathcalB_W → mathcalB'_W)·A_f^(mathcalB_V, mathcalB_W)·(M_(mathcalB_V → mathcalB'_V))^(-1)

dove:

M_(mathcalB_W → mathcalB'_W) è la matrice di passaggio da mathcalB_W a mathcalB'_W;

(M_(mathcalB_V → mathcalB'_V))^(-1) è l'inversa della matrice di cambiamento di base da mathcalB_V a mathcalB'_V.

Teniamo bene a mente quanto detto finora e applichiamolo all'esercizio, che assegna l'applicazione lineare f:R^3 → R^2 definita da

f(x,y,z) = (x-y+z, 2x-3y)

e chiede di determinare:

- la matrice che rappresenta f rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio;

- la matrice associata a f rispetto alle basi

 mathcalB = (1,1,1), (1,1,0), (0,1,0) ; mathcalB'= (1,1), (2,0)

con la formula del cambiamento di base.


Matrice associata a f rispetto alle basi canoniche

Indichiamo con mathcalC la base canonica di R^3 e con mathcalC' la base canonica di R^2.

La matrice A_f^(mathcalC, mathcalC') associata a f rispetto a tali basi è la matrice 2×3 che ha per colonne le immagini mediante f dei vettori di mathcalC, che sono:

(1,0,0) ; (0,1,0) ; (0,0,1)

Calcoliamo le loro immagini tramite f:

 f(1,0,0) = (1,2) ; f(0,1,0) = (-1,-3) ; f(0,0,1) = (1,0)

di conseguenza

A_f^(mathcalC, mathcalC') = [1 -1 1 ; 2 -3 0]


Calcolo della matrice associata a f con la formula del cambiamento di base

Riportiamo la formula del cambiamento di base per applicazioni lineari prima ricordata

A_f^(mathcalB'_V, mathcalB'_W) = M_(mathcalB_W → mathcalB'_W)·A_f^(mathcalB_V, mathcalB_W)·(M_(mathcalB_V → mathcalB'_V))^(-1)

e applichiamola per calcolare la matrice associata a f rispetto alle basi

 mathcalB = (1,1,1), (1,1,0), (0,1,0) ; mathcalB'= (1,1), (2,0)

Nel nostro contesto:

- gli spazi vettoriali di partenza e d'arrivo di f sono

V = R^3 ; W = R^2

- le basi mathcalB_V e mathcalB'_V sono, rispettivamente, la base canonica di R^3, che abbiamo indicato con mathcalC, e la base mathcalB assegnata;

- le basi mathcalB_W e mathcalB'_W sono, nell'ordine, la base canonica di R^2, che abbiamo chiamato mathcalC', e la base mathcalB' assegnata.

Per la formula del cambiamento di base abbiamo allora che:

A_f^(mathcalB, mathcalB') = M_(mathcalC'→ mathcalB')·A_f^(mathcalC, mathcalC')·(M_(mathcalC → mathcalB))^(-1)

Calcoliamo gli elementi delle matrici a secondo membro

Dalla teoria sulle matrici di passaggio dovrebbe essere noto che M_(mathcalC'→ mathcalB') è l'inversa della matrice che effettua il passaggio inverso, ossia

M_(mathcalC'→ mathcalB') = (M_(mathcalB'→ mathcalC'))^(-1)

Inoltre, M_(mathcalB'→ mathcalC') è la matrice che ha per colonne i vettori di mathcalB', per cui

 M_(mathcalC'→ mathcalB') = (M_(mathcalB'→ mathcalC'))^(-1) = [1 2 ; 1 0]^(-1) = [0 1 ; (1)/(2) -(1)/(2)]

La matrice A_f^(mathcalC, mathcalC') è già stata calcolata, mentre

(M_(mathcalC → mathcalB))^(-1) = M_(mathcalB → mathcalC)

ed è quella matrice che ha per colonne i vettori di mathcalB

(M_(mathcalC → mathcalB))^(-1) = M_(mathcalB → mathcalC) = [1 1 0 ; 1 1 1 ; 1 0 0 ]

Possiamo allora concludere che:

 A_f^(mathcalB, mathcalB') = M_(mathcalC'→ mathcalB')·A_f^(mathcalC, mathcalC')·(M_(mathcalC → mathcalB))^(-1) = [0 1 ; (1)/(2) -(1)/(2)] [1 -1 1 ; 2 -3 0] [1 1 0 ; 1 1 1 ; 1 0 0 ] = [-1 -1 -3 ; 1 (1)/(2) 1]

È fatta!
Ringraziano: Pi Greco
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Os