Classificare tre coniche degeneri fornite in coordinate omogenee

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Classificare tre coniche degeneri fornite in coordinate omogenee #100619

avt
Thot
Punto
Avrei bisogno di voi per classificare tre coniche degeneri, descritte con equazioni espresse in coordinate omogenee. Il libro afferma che sono tutte coniche semplicemente degeneri, ma a me non risulta.

Classificare le coniche degeneri descritte dalle seguenti equazioni in coordinate omogenee.

\\ \mathrm{C}_1:\ x_1^{2}+4x_{2}^2+12x_2x_3+9x_3^2=0 \\ \\ \mathrm{C}_2:\ x_1^2+4x_2^2+4x_1x_2-x_3^2=0 \\ \\ \mathrm{C}_3:\ 2x_1^2-x_2^2-x_1x_2+2x_1x_3+4x_2x_3-4x_3^2=0

Grazie.
 
 

Classificare tre coniche degeneri fornite in coordinate omogenee #101332

avt
Ifrit
Amministratore
In generale per classificare una conica degenere, espressa in coordinate omogenee

\mathrm{C}:\ a_{11}x_{1}^{2}+a_{22}x_{2}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+2a_{13}x_{1}x_{3}+2a_{23}x_{2}x_{3}+a_{33}x_{3}^2=0

occorre innanzitutto scrivere le matrici associate alla conica:

- la matrice dei coefficienti, o matrice della conica

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}

- la matrice dei termini quadratici

A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}

Una volta esplicitate le due matrici, dovremo attenerci al seguente schema.

Verifichiamo che il determinante della matrice A è nullo, solo così la conica è degenere, in caso contrario la conica è generale.

Calcoliamo il rango di A:

- se \mbox{rk}(A)=1, diremo che la conica è doppiamente degenere e la classificazione termina qui.

- se \mbox{rk}(A)=2, allora la conica è semplicemente degenere. In questa eventualità, la classificazione può essere ulteriormente raffinata. In base al segno del determinante di A_{33}, possiamo distinguere i casi:

• se \mbox{det}(A_{33})>0, la conica degenera in due rette immaginarie coniugate e non parallele;

• se \mbox{det}(A_{33})=0, la conica degenera in due rette parallele che possono essere reali e distinte, oppure immaginarie coniugate;

• se \mbox{det}(A_{33})<0, la conica degenera in due rette reali e non parallele.

Dopo il richiamo teorico, consideriamo la conica \mathmr{C}_1, di equazione omogenea:

\mathrm{C}_1:\ x_1^{2}+4x_2^2+12x_2x_3+9x_3^2=0

ed elenchiamo i suoi coefficienti:

- il coefficiente del termine in x_{1}^2 è a_{11}=1;

- il coefficiente del termine in x_{2}^2 e a_{22}=4;

- il coefficiente del termine in x_{1}x_{2} è 2a_{12}=0, da cui a_{12}=0;

- il coefficiente del termine in x_{1}x_{3} è 2a_{13}=0, da cui a_{13}=0;

- il coefficiente del termine in x_{2}x_{3} è 2a_{23}=12, da cui a_{23}=6;

- il coefficiente del termine in x_{3}^2 è a_{33}=9.

Grazie a questi valori siamo in grado di scrivere le matrici associate a \mathrm{C}_1:

\\ A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{23}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&4&6\\ 0&6&9\end{pmatrix}\\ \\ \\ A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&4\end{pmatrix}

A questo punto usando la regola di Laplace, scopriamo che il determinante di A è zero

\mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&4&6\\ 0&6&9\end{pmatrix}=0

e questo conferma che \mathrm{C}_1 è una conica degenere. Se si osserva inoltre che la terza riga è proporzionale alla seconda e che il determinante della sottomatrice ottenuta cancellando la terza riga e la terza colonna è diverso da zero, possiamo affermare che il rango di A è due:

\mbox{rk}(A)=\mbox{rk}\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&4&6\\ 0&6&9\end{pmatrix}=2

per cui \mathrm{C}_1 è una conica semplicemente degenere.

Calcoliamo infine il determinante di A_{33}

\mbox{det}(A_{33})=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&0\\ 0&4\end{pmatrix}=4>0

Poiché è positivo, possiamo affermare che \mathrm{C}_1 degenera in due rette immaginarie coniugate e non parallele.

Consideriamo l'equazione della conica \mathrm{C}_2

\mathrm{C}_{2}:\ x_{1}^2+4x_{2}^2+4x_1x_2-x_3^2=0

e riportiamo i suoi coefficienti:

- il coefficiente del termine in x_{1}^2 è a_{11}=1;

- il coefficiente del termine in x_{2}^2 e a_{22}=4;

- il coefficiente del termine in x_{1}x_{2} è 2a_{12}=4, da cui a_{12}=2;

- il coefficiente del termine in x_{1}x_{3} è 2a_{13}=0, da cui a_{13}=0;

- il coefficiente del termine in x_{2}x_{3} è 2a_{23}=0, da cui a_{23}=0;

- il coefficiente del termine in x_{3}^2 è a_{33}=-1.

Le matrici associate alla conica \mathrm{C}_2 sono quindi:

\\ A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&0\\ 2&4&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix} \\ \\ \\ A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\ 2&4\end{pmatrix}

Osserviamo che il determinante di A è zero perché la seconda riga è il doppio della seconda

\mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&2&0\\ 2&4&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}=0

pertanto la conica è degenere. La proporzionalità tra la prima e la seconda riga e la non nullità del determinante della sottomatrice di A ottenuta cancellando la prima riga e la prima colonna garantiscono che il rango della matrice A è due

\mbox{rk}(A)=\mbox{rk}\begin{pmatrix}1&2&0\\ 2&4&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}=2

per cui \mathrm{C}_2 è una conica semplicemente degenere. Infine, poiché il determinante di A_{33} è zero (si noti che le righe sono proporzionali), possiamo concludere che \mathrm{C}_2 degenera in due rette parallele, reali e distinte oppure immaginarie e coniugate.

Occupiamoci dell'ultima conica, \mathrm{C}_3, di equazione omogenea

\mathrm{C}_3:\ 2x_1^2-x_2^2-x_{1}x_2+2x_1x_3+4x_2x_3-4x_3^2=0

e come per le precedenti esplicitiamo i suoi coefficienti:

- il coefficiente del termine in x_{1}^2 è a_{11}=2;

- il coefficiente del termine in x_{2}^2 e a_{22}=-1;

- il coefficiente del termine in x_{1}x_{2} è 2a_{12}=-1, da cui a_{12}=-\frac{1}{2};

- il coefficiente del termine in x_{1}x_{3} è 2a_{13}=2, da cui a_{13}=1;

- il coefficiente del termine in x_{2}x_{3} è 2a_{23}=4, da cui a_{23}=2;

- il coefficiente del termine in x_{3}^2 è a_{33}=-1.

La matrice dei coefficienti di \mathrm{C}_3 è quindi

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&&-\dfrac{1}{2}&&1\\ \\ -\dfrac{1}{2}&&-1&& 2 \\ \\ 1&&2&&-4\end{pmatrix}

mentre la matrice dei coefficienti quadratici è:

A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&&-\dfrac{1}{2}\\ \\ -\dfrac{1}{2}&&-1\end{pmatrix}

Poiché il determinante di A è nullo e il suo rango è due, si ha che \mathrm{C}_3 è una conica semplicemente degenere. Inoltre, poiché il determinante di A_{33} vale -\frac{9}{4}, possiamo concludere che la conica degenera in due rette reali e non parallele.
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