Esercizio sulla classificazione di una conica con equazione omogenea

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Esercizio sulla classificazione di una conica con equazione omogenea #100571

avt
FAQ
Frattale
Avrei bisogno del vostro aiuto per classificare una conica descritta da un'equazione in coordinate omogenee. Secondo il libro dovrebbe essere una conica doppiamente degenere, ma a me non risulta. Potreste aiutarmi?

Classificare la conica \mathrm{C} di equazioni in coordinate omogenee

\mathrm{C}:\ x_1^2+9x_2^2-6x_1x_2+4x_1x_3-12x_2x_3+4x_3^2=0

Grazie.
Ringraziano: Ifrit
 
 

Esercizio sulla classificazione di una conica con equazione omogenea #101331

avt
Ifrit
Amministratore
Sia data l'equazione della conica \mathrm{C} espressa in coordinate omogenee

\mathrm{C}:\ x_1^2+9x_2^2-6x_1x_2+4x_1x_3-12x_2x_3+4x_3^2=0

Per classificare una conica del genere occorre innanzitutto esplicitare le matrici simmetriche ad essa associate:

- la matrice dei coefficienti della conica

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{22}&a_{33}\end{pmatrix}

- la matrice dei termini quadratici

A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}

dove

\bullet \ \ \ a_{11},\, a_{22},\, a_{33} sono rispettivamente il coefficiente del termine in x_1^2, quello del termine in x_{2}^2 e quello del termine in x_{3}^2;

\bullet\ \ \ a_{12},\, a_{13},\, a_{23} sono rispettivamente il coefficiente del termine in x_{12}, quello del termine in x_{13} e quello del termine in x_{23}, divisi per due.

Elenchiamo i coefficienti della conica:

- il coefficiente del termine in x_{1}^2 è a_{11}=1;

- il coefficiente del termine in x_{2}^2 è a_{22}=9;

- il coefficiente del termine in x_{1}x_{2} è 2a_{12}=-6, da cui a_{12}=-3;

- il coefficiente del termine in x_{1}x_{3} è 2a_{13}=4, da cui a_{13}=2;

- il coefficiente del termine in x_{2}x_{3} è 2a_{23}=-12, da cui a_{23}=-6;

- il coefficiente del termine in x_{3}^2 è a_{33}=4.

Con essi costruiamo le matrici associate alla conica

\\ A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-3&2\\ -3&9&-6\\ 2&-6& 4\end{pmatrix}\\ \\ \\ A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-3\\ -3&9\end{pmatrix}

A questo punto esplicitiamo il determinante della matrice A: se è nullo, la conica è degenere, altrimenti è generale.

Notando che la seconda riga di A è uguale alla prima moltiplicata per -3, per le proprietà del determinante possiamo affermare che il determinante della matrice è nullo:

\mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&-3&2\\ -3&9&-6\\ 2&-6& 4\end{pmatrix}=0

per cui \mathrm{C} è una conica degenere.

Raffiniamo ulteriormente la classificazione attenendoci al seguente schema: se il rango di A è due, allora la conica è semplicemente degenere; se invece il rango dovesse risultare pari a 1, diremo che la conica è doppiamente degenere.

In questa circostanza, il rango della matrice dei coefficienti è uno perché la seconda riga è -3 volte la prima, mentre la terza è 2 volte la seconda, pertanto:

\mbox{rk}(A)=\mbox{rk}\begin{pmatrix}1&-3&2\\ -3&9&-6\\ 2&-6& 4\end{pmatrix}=1

Possiamo concludere che \mathrm{C} è una conica doppiamente degenere.

Osservazione per chi è pratico con le scomposizioni di polinomi: il polinomio al primo membro è lo sviluppo del quadrato di un trinomio, infatti:

x_1^2+9x_2^2-6x_1x_2+4x_1x_3-12x_2x_3+4x_3^2=\\ \\ =(x_1-3x_2+2x_3)^2

per cui l'equazione che descrive \mathrm{C} si riscrive in maniera equivalente come:

\mathrm{C}:\ (x_1-3x_2+2x_3)^2=0

ossia

x_1-3x_2+2x_3=0

che è l'equazione di una retta nel piano ampliato. Ciò significa che la conica degenera in una retta, o meglio degenera in una coppia di rette coincidenti.

Ecco fatto!
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Os