Studiare una conica dall'equazione in coordinate omogenee

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Studiare una conica dall'equazione in coordinate omogenee #100566

avt
CervelloStrano
Punto
Mi è capitato un esercizio sulla classificazione di una conica, la cui equazione è espressa in coordinate omogenee. Secondo il risultato, l'equazione dovrebbe individuare un'iperbole, mentre io ottengo un'ellisse. Potreste aiutarmi a risolvere il problema per favore?

Stabilire la natura della conica \mathrm{C} descritta dall'equazione in coordinate omogenee:

\mathrm{C}:\ x_1^2-x_2^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3-4x_3^2=0

Grazie.
 
 

Studiare una conica dall'equazione in coordinate omogenee #101330

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio ci chiede di classificare la conica descritta dall'equazione in coordinate omogenee

\mathrm{C}:\ x_1^2-x_2^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3-4x_3^2=0

occorre innanzitutto esplicitare le matrici simmetriche

\\ A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}\\ \\ \\ A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}

dette matrici associate alla conica, i cui elementi sono definiti a partire dai coefficienti dell'equazione. Più precisamente:

\bullet \ \ \ a_{11},\, a_{22},\, a_{33} sono rispettivamente il coefficiente del termine in x_{1}^2, quello del termine in x_{2}^2 e quello del termine in x_{3}^2;

\bullet \ \ \ a_{12},\, a_{13},\, a_{23} sono rispettivamente il coefficiente del termine in x_{1}x_{2}, quello del termine in x_{1}x_{3} e quello del termine in x_{2}x_{3} divisi per due.

Elenchiamo i coefficienti della conica:

- il coefficiente del termine in x_1^2 è a_{11}=1;

- il coefficiente del termine in x_{2}^2 è a_{22}=-1;

- il coefficiente del termine in x_{1}x_{2} è 2a_{12}=2, da cui a_{12}=1;

- il coefficiente del termine in x_{1}x_{3} è 2a_{13}=2, da cui a_{13}=1;

- il coefficiente del termine in x_{2}x_{3} è 2a_{23}=2, da cui a_{23}=1;

- il coefficiente del termine in x_{3}^2 è a_{33}=-4.

Con questi valori siamo in grado di esplicitare la matrice dei coefficienti di \mathrm{C}

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1\\ 1&-1&1\\ 1&1&-4\end{pmatrix}

e la matrice dei termini quadratici

A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&-1\end{pmatrix}

Calcoliamo il determinante di A, in base al quale si ha che la conica è degenere, se esso è nullo, mentre è generale se il determinante è diverso da zero. Usando ad esempio la regola di Sarrus, scopriamo che:

\mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&1&1\\ 1&-1&1\\ 1&1&-4\end{pmatrix}=10\ne 0

per cui \mathrm{C} è una conica non degenere.

Raffiniamo la classificazione: in base al segno del determinante di A_{33}, può verificarsi uno dei seguenti casi:

- se \mbox{det}(A_{33})>0, la conica è un'ellisse;

- se \mbox{det}(A_{33})=0, la conica è una parabola;

- se \mbox{det}(A_{33})<0, la conica è un'iperbole.

In questa circostanza

\mbox{det}(A_{33})=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&1\\ 1&-1\end{pmatrix}=-2<0

pertanto \mathrm{C} è un'iperbole.

Abbiamo finito!
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Os