Esercizio di classificazione di una conica in coordinate omogenee

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Esercizio di classificazione di una conica in coordinate omogenee #100534

avt
DamunaTaliffato
Punto
Ho bisogno del vostro aiuto per classificare una conica la cui equazione è espressa in coordinate omogenee. In teoria dovrei determinare le matrici associate alla conica e attenermi alla teoria delle coniche, ma i miei risultati discordano con quelli del testo.

Classificare la conica \mathrm{C} descritta dall'equazione in coordinate omogenee

\mathrm{C}:\ x_1^2+x_2^2-x_1x_2+4x_1x_3+2x_2x_3+x_3^2=0

Grazie.
 
 

Esercizio di classificazione di una conica in coordinate omogenee #101329

avt
Ifrit
Amministratore
Per classificare la conica definita dall'equazione in coordinate omogenee:

\mathrm{C}:\ x_1^2+x_2^2-x_1x_2+4x_1x_3+2x_2x_3+x_3^2=0

occorre innanzitutto scrivere le due matrici simmetriche

\\ A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}\\ \\ \\ A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}

dette matrici associate alla conica e in cui:

\bullet \ \ \ a_{11},\, a_{22},\, a_{33} sono i coefficienti dei termini in x_1^2,\, x_2^2,\, x_3^2;

\bullet \ \ \ a_{12},\, a_{13},\, a_{23} sono rispettivamente il coefficiente di x_1x_2, quello di x_1x_3 e quello di x_{2}x_3, divisi per due.

Nel caso in esame:

- il coefficiente del termine in x_{1}^2 è a_{11}=1;

- il coefficiente del termine in x_{2}^2 è a_{22}=1;

- il coefficiente del termine in x_1x_2 è 2a_{12}=-1, da cui a_{12}=-\frac{1}{2};

- il coefficiente del termine in x_1x_3 è 2a_{13}=4, da cui a_{13}=2;

- il coefficiente del termine in x_2x_3 è 2a_{23}=2, da cui a_{23}=1;

- il coefficiente del termine in x_3^2 è a_{33}=1;

pertanto le matrici associate alla conica sono:

\\ A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&&-\dfrac{1}{2}&&2\\ \\ -\dfrac{1}{2}&& 1&& 1\\ \\ 2&&1&&1\end{pmatrix} \\ \\ \\ A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&&-\dfrac{1}{2}\\ \\ -\dfrac{1}{2}&& 1\end{pmatrix}

Usando la regola di Sarrus, o la regola di Laplace, scopriamo che il determinante della matrice dei coefficienti A è non nullo

\mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&&-\dfrac{1}{2}&&2\\ \\ -\dfrac{1}{2}&& 1&& 1\\ \\ 2&&1&&1\end{pmatrix}=-\frac{25}{4}\ne 0

per cui la conica è non degenere. Per classificarla occorre calcolare il determinante della matrice dei termini quadratici: in base al segno possono verificarsi uno dei seguenti casi.

Se il determinante di A_{33} è positivo, la conica è un'ellisse, se invece il determinante è nullo, siamo in presenza di una parabola, altrimenti è un'iperbole.

Calcoliamo il determinante della matrice 2x2

\mbox{det}(A_{33})=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&&-\dfrac{1}{2}\\ \\ -\dfrac{1}{2}&& 1\end{pmatrix}=\frac{3}{4}>0

Poiché è positivo, possiamo concludere che \mathrm{C} è un'ellisse.

È fatta!
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Os