Classificare una conica con equazione in coordinate omogenee

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Classificare una conica con equazione in coordinate omogenee #100370

avt
giorgia65
Punto
Avrei bisogno di una mano per classificare una conica di cui conosco l'equazione in coordinate omogenee. Cambia qualcosa nell'eventualità in cui la conica sia descritta in coordinate omogenee?

Fissato il sistema di riferimento cartesiano nel piano RC(O,x,y), classificare la conica \mathrm{C} descritta dall'equazione in coordinate omogenee

\mathrm{C}: \ x_1^2+x_2^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3+x_3^2=0

Grazie.
 
 

Classificare una conica con equazione in coordinate omogenee #101328

avt
Ifrit
Amministratore
La classificazione di una conica, descritta da un'equazione in coordinate omogenee, ossia un'equazione del tipo

\mathrm{C}:\ a_{11}x_1^2+a_{22}x_{2}^2+2a_{12}x_{1}x_{2}+2a_{13}x_{1}x_{3}+2a_{23}x_{2}x_{3}+a_{33}x_{3}^2=0

avviene esattamente come nel caso in cui l'equazione della conica è in coordinate non omogenee.

Si scrivono le matrici associate alla conica:

- la matrice dei coefficienti A

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}

- la matrice dei termini quadratici

A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}

In base al determinante di A, la conica può essere classificata in:

- conica degenere, se \mbox{det}(A)=0;

- conica non degenere o generale, se \mbox{det}(A)\ne 0.

Inoltre sussistono le seguenti sotto-classificazioni.

Se la conica è generale, in base al determinante della matrice dei termini quadratici ricaviamo le casistiche:

- se \mbox{det}(A_{33})>0, allora \mathrm{C} è un'ellisse;

- se \mbox{det}(A_{33})=0, allora \mathrm{C} è una parabola;

- se \mbox{det}(A_{33})<0, allora \mathrm{C} è un'iperbole.

Se invece la conica è degenere, interviene il concetto di rango di una matrice:

- se \mbox{rk}(A)=1, diremo che la conica è doppiamente degenere;

- nel caso in cui \mbox{rk}(A)=2, allora:

\mathrm{C} coincide con due rette immaginarie coniugate e non parallele, se \mbox{det}(A_{33})>0;

\mathrm{C} coincide con due rette parallele che possono essere reali e distinte oppure immaginarie coniugate, se \mbox{det}(A_{33})=0;

\mathrm{C} coincide con due rette reali e non parallele, se \mbox{det}(A_{33})<0.

Dopo questo non troppo breve preambolo teorico, occupiamoci del problema. Consideriamo l'equazione omogenea di \mathrm{C}

\mathrm{C}: \ x_1^2+x_2^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3+x_3^2=0

ed elenchiamo i coefficienti:

- il coefficiente di x_1^2 è a_{11}=1;

- il coefficiente di x_2^2 è a_{22}=1;

- il coefficiente di x_{1}x_{2} è 2a_{12}=-2, da cui a_{12}=-1;

- il coefficiente di x_{1}x_{3} è 2a_{13}=-2, da cui a_{13}=-1;

- il coefficiente di x_{2}x_{3} è 2a_{23}=-2, da cui a_{23}=-1;

- il coefficiente di x_{3}^2 è a_{33}=1.

Con questi valori siamo in grado di scrivere le matrici associate alla conica.

\\ A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\ -1&1&-1\\ -1&-1&1\end{pmatrix} \\ \\ \\ A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\ -1&1\end{pmatrix}

Usando la regola di Sarrus, concludiamo immediatamente che:

\mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&-1&-1\\ -1&1&-1\\ -1&-1&1\end{pmatrix}=-4\ne 0

per cui la conica è non degenere. Inoltre poiché il determinante della matrice dei termini quadratici è nullo

\mbox{det}(A_{33})=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&-1\\ -1&1\end{pmatrix}=0

possiamo concludere che \mathrm{C} è una parabola.

È fatta!
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Os