Classificare tre coniche in coordinate omogenee tra degeneri e non degeneri

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Classificare tre coniche in coordinate omogenee tra degeneri e non degeneri #100267

avt
drmacchius
Punto
Ho bisogno del vostro aiuto per stabilire se tre coniche sono degeneri o meno a partire dalle loro equazioni espresse in coordinate omogenee. Da quello che ho capito devo associare la matrice dei coefficienti a ciascuna conica e calcolarne il determinante, giusto?

Stabilire se le seguenti equazioni in coordinate omogenee individuino coniche degeneri o coniche non degeneri.

\\ (a) \ \ \ \mathrm{C}_1:\ 2x_1^2+8x_1x_2+8x_2^2+2x_1x_3+4x_2x_3+2x_3^2=0 \\  \\ (b) \ \ \ \mathrm{C}_2:\ 2x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_1x_3+2x_2x_3+2x_3^2=0\\ \\ (c) \ \ \ \mathrm{C}_3:\ 5x_1^2+x^2+6x_1x_3+2x_2x_3+3x_3^2=0

Grazie.
 
 

Classificare tre coniche in coordinate omogenee tra degeneri e non degeneri #101327

avt
Ifrit
Amministratore
In generale all'equazione di una conica espressa in coordinate omogenee

\mathrm{C}:\ a_{11}x_1^1+a_{22}x_{2}^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+2a_{23}x_2x_3+a_{33}x_3^2=0

è possibile associare la matrice dei coefficienti A, così definita:

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}

Essa è una matrice simmetrica, il cui determinante consente di classificare la conica in:

- conica degenere, se il determinane di A è uguale a zero;

- conica non degenere, o conica generale, se il determinante di A è diverso da zero.

La risoluzione del problema prevede quindi di scrivere la matrice dei coefficienti della conica, di calcolare il suo determinante e di attenersi al richiamo teorico.

Partiamo dalla conica \mathrm{C}_1 descritta mediante l'equazione omogenea

\mathrm{C}_1:\ 2x_1^2+8x_1x_2+8x_2^2+2x_1x_3+4x_2x_3+2x_3^2=0

elencando i suoi coefficienti:

- il coefficiente del termine in x_1^2 è a_{11}=2;

- il coefficiente del termine in x_2^2 è a_{22}=8;

- il coefficiente del termine in x_1x_2 è 2a_{12}=8, da cui a_{12}=4;

- il coefficiente del termine in x_1x_3 è 2a_{13}=2, da cui a_{13}=1;

- il coefficiente del termine in x_2x_3 è 2a_{23}=4, da cui a_{23}=2;

- il coefficiente del termine in x_3^2 è a_{33}=2.

Grazie a questi valori siamo in grado di scrivere la matrice dei coefficienti di \mathrm{C}_1

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4&1\\ 4&8&2\\ 1&2&2\end{pmatrix}

Il determinante di A è chiaramente nullo perché la seconda riga è due volte la prima:

\mbox{det}(A)=0

di conseguenza \mathrm{C}_1 è una conica degenere.

Calcoliamo la matrice dei coefficienti associata alla conica di equazione omogenea:

\mathrm{C}_2:\ 2x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_1x_3+2x_2x_3+2x_3^2=0

Elenchiamo i suoi coefficienti:

- il coefficiente del termine in x_1^2 è a_{11}=2;

- il coefficiente del termine in x_2^2 è a_{22}=2;

- il coefficiente del termine in x_1x_2 è 2a_{12}=2, da cui a_{12}=1;

- il coefficiente del termine in x_1x_3 è 2a_{13}=4, da cui a_{13}=2;

- il coefficiente del termine in x_2x_3 è 2a_{23}=2, da cui a_{23}=1;

- il coefficiente del termine in x_3^2 è a_{33}=2.

Noti questi valori, la matrice della conica \mathrm{C}_2 è:

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1&2\\ 1&2&1\\ 2&1&2\end{pmatrix}

Poiché la prima e la terza riga di A sono identiche, il determinante della matrice A è certamente nullo, di conseguenza la conica \mathrm{C}_2 è degenere.

Consideriamo la conica \mathrm{C}_3 di equazioni omogenee

\mathrm{C}_3:\ 5x_1^2+x^2+6x_1x_3+2x_2x_3+3x_3^2=0

ed elenchiamone i coefficienti:

- il coefficiente del termine in x_1^2 è a_{11}=5;

- il coefficiente del termine in x_2^2 è a_{22}=1;

- il coefficiente del termine in x_1x_2 è 2a_{12}=0, da cui a_{12}=0;

- il coefficiente del termine in x_1x_3 è 2a_{13}=6, da cui a_{13}=3;

- il coefficiente del termine in x_2x_3 è 2a_{23}=2, da cui a_{23}=1;

- il coefficiente del termine in x_3^2 è a_{33}=3.

Ora siamo in grado di scrivere la matrice dei coefficienti di \mathrm{C}_3 che è:

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&0&3\\ 0&1&1\\ 3&1&3\end{pmatrix}

Usando la regola di Sarrus, oppure la regola di Laplace, scopriamo che il determinante di A è non nullo:

\mbox{det}(A)=1\ne 0

pertanto la conica \mathrm{C}_3 è non degenere, o generale.
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