Esercizio: classificare tre coniche degeneri dalle equazioni

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Esercizio: classificare tre coniche degeneri dalle equazioni #100262

avt
Johnny Franchi
Punto
Mi servirebbe una mano per risolvere un esercizio sulla classificazione di tre coniche degeneri. Devo stabilire se le equazioni descrivono rette immaginarie, rette parallele o rette reali e non parallele. Non ho proprio idea di come si faccia.

Classificare le coniche degeneri definite dalle equazioni

\\ (a)\ \ \ \mathrm{C}_1:\ x^2+3y^2+3xy+2x+3y+1=0 \\ \\ (b) \ \ \ \mathrm{C}_2:\ 4x^2+y^2-4xy-1=0\\ \\ (c)\ \ \ \mathrm{C}_3:\ 2x^2+2y^2-5xy+x+y-1=0

Grazie.
 
 

Esercizio: classificare tre coniche degeneri dalle equazioni #101326

avt
Ifrit
Amministratore
Prima di occuparci del problema, facciamo un breve richiamo teorico. Consideriamo l'equazione generica di una conica

\mathrm{C}:\ a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0

A essa possiamo associare due matrici simmetriche:

- la matrice dei coefficienti, detta altresì matrice della conica

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}

- la matrice dei termini quadratici

A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}

Se il determinante di A è uguale a zero, allora \mathrm{C} è una conica degenere.

Al variare del rango di A, possiamo inoltre classificare le coniche in:

- doppiamente degeneri, se \mbox{rk}(A)=1.

- semplicemente degeneri, se \mbox{rk}(A)=2 e in particolare nel caso in cui:

\mbox{det}(A_{33})>0, la conica si spezza in due rette immaginarie coniugate e non parallele;

\mbox{det}(A_{33})=0, la conica si spezza in due rette parallele reali e distinte, oppure immaginarie coniugate;

\mbox{det}(A_{33})<0, la conica si spezza in due rette reali e non parallele.

Dopo aver riportato tutte le casistiche che riguardano le coniche degeneri, occupiamoci del problema.

Consideriamo la conica descritta dall'equazione

\mathrm{C}_1:\ x^2+3y^2+3xy+2x+3y+1=0

ed elenchiamo i suoi coefficienti:

- il coefficiente del termine in x^2 è a_{11}=1;

- il coefficiente del termine in y^2 è a_{22}=3;

- il coefficiente del termine in xy è 2a_{12}=3, da cui a_{12}=\frac{3}{2};

- il coefficiente del termine in x è 2a_{13}=2, da cui a_{13}=1;

- il coefficiente del termine in y è 2a_{23}=3, da cui a_{23}=\frac{3}{2};

- il termine noto è invece a_{33}=1.

Questi valori consentono di scrivere la matrice dei coefficienti A

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&&\dfrac{3}{2}&&1\\ \\ \dfrac{3}{2}&&3&&\dfrac{3}{2}\\ \\  1&&\dfrac{3}{2}&&1\end{pmatrix}

e la matrice dei termini quadratici

A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&&\dfrac{3}{2}\\ \\ \dfrac{3}{2}&& 3\end{pmatrix}

Osservato che la prima e la terza riga di A coincidono, possiamo affermare che il determinante della matrice è nullo

\mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&&\dfrac{3}{2}&&1\\ \\ \dfrac{3}{2}&&3&&\dfrac{3}{2}\\ \\  1&&\dfrac{3}{2}&&1\end{pmatrix}=0

pertanto \mathrm{C}_1 è una conica degenere.

Poiché inoltre il determinante della matrice dei termini quadratici è positivo

\mbox{det}(A_{33})=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&&\dfrac{3}{2}\\ \\ \dfrac{3}{2}&& 3\end{pmatrix}=\frac{3}{4}>0

allora \mathrm{C}_1 si spezza in due rette immaginarie coniugate e non parallele.

Consideriamo l'equazione della conica \mathrm{C}_2

\mathrm{C}_2:\ 4x^2+y^2-4xy-1=0

ed elenchiamo i suoi coefficienti:

- il coefficiente del termine in x^2 è a_{11}=4;

- il coefficiente del termine in y^2 è a_{22}=1;

- il coefficiente del termine in xy è 2a_{12}=-4, da cui a_{12}=-2;

- il coefficiente del termine in x è 2a_{13}=0, da cui a_{13}=0;

- il coefficiente del termine in y è 2a_{23}=0, da cui a_{23}=0;

- il termine noto è infine a_{33}=-1.

La matrice dei coefficienti di \mathrm{C}_2 è:

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-2&0\\ -2&1&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}

mentre la matrice dei termini quadratici risulta:

A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-2\\ -2&1\end{pmatrix}

Poiché il determinante di A e quello di A_{33} sono entrambi nulli

\mbox{det}(A)=0 \ \ \ ,\ \ \ \mbox{det}(A_{33})=0

possiamo concludere che \mathrm{C}_2 è una conica degenere che si spezza in due rette parallele (reali e distinte oppure immaginarie coniugate).

Occupiamoci dell'equazione dell'ultima conica

\mathrm{C}_3:\ 2x^2+2y^2-5xy+x+y-1=0

Elenchiamo i suoi coefficienti:

- il coefficiente del termine in x^2 è a_{11}=2;

- il coefficiente del termine in y^2 è a_{22}=2;

- il coefficiente del termine in xy è 2a_{12}=-5, da cui a_{12}=-\frac{5}{2};

- il coefficiente del termine in x è 2a_{13}=1, da cui a_{13}=\frac{1}{2};

- il coefficiente del termine in y è 2a_{23}=1, da cui a_{23}=\frac{1}{2};

- il termine noto è infine a_{33}=-1;

e con essi costruiamo le matrici associate alla conica

\\ A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&&-\dfrac{5}{2}&&\dfrac{1}{2}\\ \\ -\dfrac{5}{2}&&2&&\dfrac{1}{2}\\ \\  \dfrac{1}{2}&&\dfrac{1}{2}&&-1\end{pmatrix}\\ \\ \\ A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&&-\dfrac{5}{2}\\ \\ -\dfrac{5}{2}&&2\end{pmatrix}

Dalla nullità del determinante di A segue che \mathrm{C}_3 è una conica degenere, inoltre, poiché

\mbox{det}(A_{33})=-\frac{9}{4}<0

possiamo concludere che la conica si spezza in due rette reali e non parallele.

Problema risolto!
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