Classificazione di una conica in coordinate non omogenee

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Classificazione di una conica in coordinate non omogenee #100136

avt
Maxpnl
Punto
In un esercizio mi viene chiesto di classificare una conica a partire dalla sua equazione in coordinate non omogenee. Mi sono rifatto allo schema per la classificazione, ma non ottengo lo stesso risultato del libro, secondo cui è una conica doppiamente degenere. Potreste aiutarmi per favore?

Classificare la conica \mathrm{C}_1 di equazione:

\mathrm{C}_1:\ x^2+y^2-2x y+2x-2y+1=0

Grazie.
 
 

Classificazione di una conica in coordinate non omogenee #101325

avt
Ifrit
Amministratore
Per classificare la conica \mathrm{C} descritta dalla relazione:

\mathrm{C}_1:\ x^2+y^2-2x y+2x-2y+1=0

dobbiamo confrontare questa con l'equazione generale di una conica

\mathmr{C}: \ a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0

così da ricavare i valori dei coefficienti:

a_{11},\, a_{22},\, a_{12},\, a_{13},\, a_{23},\,a_{33}

che useremo per costruire le matrici associate alla conica:

- la matrice dei coefficienti:

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}

- la matrice dei termini quadratici:

A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}

Attenendoci alla teoria delle coniche saremo in grado di classificare correttamente la conica.

Elenchiamo quindi i coefficienti di \mathrm{C}_1:

- il coefficiente del termine in x^2 è a_{11}=1;

- il coefficiente del termine in y^2 è a_{22}=1;

- il coefficiente del termine in xy è 2a_{12}=-2, per cui a_{12}=-1;

- il coefficiente del termine in x è 2a_{13}=2, per cui a_{13}=1;

- il coefficiente del termine in y è 2a_{23}=-2, per cui a_{23}=-1;

- il termine noto è a_{33}=1.

Sfruttiamoli per esplicitare le matrici della conica (si tenga a mente che sono matrici simmetriche!)

\\ A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&1\\ -1&1&-1\\ 1&-1&1\end{pmatrix} \\ \\ \\ A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\ -1&1\end{pmatrix}

Iniziamo la classificazione osservando che il determinante della matrice dei coefficienti è nullo: si noti che la prima e la terza riga sono identiche:

\mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&-1&1\\ -1&1&-1\\ 1&-1&1\end{pmatrix}=0

Ciò garantisce che \mathrm{C}_1 è una conica degenere, pertanto possono verificarsi due eventualità, distinte dal valore che assume il rango di A.

- Se \mbox{rk}(A)=1, allora \mathrm{C}_1 è una conica doppiamente degenere e abbiamo finito;

- se \mbox{rk}(A)=2, allora \mathrm{C}_1 è una conica semplicemente degenere e sussiste l'ulteriore sotto-classificazione, al variare del determinante di A_{33}:

- nel caso in cui \mbox{det}(A_{33})>0, la conica si spezza in due rette immaginarie coniugate e non parallele;

- nel caso in cui \mbox{det}(A_{33})=0, la conica si spezza in due rette parallele (reali e distinte, oppure immaginarie coniugate);

- nel caso in cui \mbox{det}(A_{33})<0, la conica si spezza in due rette reali e non parallele.

Nel caso in esame il rango di A è uno

\mbox{rk}\begin{pmatrix}1&-1&1\\ -1&1&-1\\ 1&-1&1\end{pmatrix}=1

pertanto \mathrm{C}_1 è una conica doppiamente degenere.

Osservazione: per chi ha dimestichezza con le scomposizioni di polinomi, usando la regola per lo sviluppo di un quadrato di trinomio si dimostra che

x^2+y^2-2x y+2x-2y+1=(1+x-y)^2

pertanto l'equazione si può riscrivere in maniera equivalente come:

(1+x-y)^2=0 \ \ \ \to \ \ \ 1+x-y=0

Ciò significa che \mathrm{C}_1 degenera in una retta o meglio coincide con due rette coincidenti.

Problema risolto!
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Os