Classificazione di una conica dall'equazione

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Classificazione di una conica dall'equazione #100078

avt
Giuseppeotto0
Punto
Ho bisogno di una mano per classificare una conica di cui conosco l'equazione. Il mio problema risiede essenzialmente nel calcolare le matrici associate, come dovrei fare?

Si consideri il piano munito dell'usuale sistema di riferimento Oxy. Classificare la conica \mathrm{C} descritta dall'equazione:

\mathmr{C}:\ 6x^2+y^2+2xy+4x+2y+2=0

Grazie.
 
 

Classificazione di una conica dall'equazione #101324

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio ci chiede di classificare la conica \mathrm{C} descritta dall'equazione

\mathmr{C}:\ 6x^2+y^2+2xy+4x+2y+2=0

Il primo passo consiste nello scrivere le matrici associate alla conica, ossia le matrici simmetriche

\\ A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}\\ \\ \\ A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}

in cui:

\bullet \ \ \ a_{11},\, a_{22},\, a_{33} sono rispettivamente i coefficienti dei termini in x^2,\, y^2 e il termine noto;

\bullet \ \ \ a_{12},\, a_{13},\ ,a_{23} sono rispettivamente i coefficienti dei termini in xy,\, x,\, y divisi per due.

Nel caso in esame:

- il coefficiente del termine in x^2 è a_{11}=6;

- il coefficiente del termine in y^2 è a_{22}=1;

- il coefficiente del termine in xy è 2a_{12}=2, per cui a_{12}=1;

- il coefficiente del termine in x è 2a_{13}=4, per cui a_{13}=2;

- il coefficiente del termine in y è 2a_{23}=2, per cui a_{23}=1;

- il termine noto è invece a_{33}=2.

Con questi valori siamo in grado di scrivere la matrice dei coefficienti di \mathrm{C}

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&1&2\\ 1&1&1\\ 2&1&2\end{pmatrix}

e la matrice dei termini quadratici

A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&1\\ 1&1\end{pmatrix}

Usando ad esempio la regola di Sarrus, scopriamo che il determinante della matrice A è non nullo

\mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}6&1&2\\ 1&1&1\\ 2&1&2\end{pmatrix}=4

pertanto \mathrm{C} è certamente una conica non degenere.

Calcoliamo il determinante della matrice di ordine due

\mbox{det}(A_{33})=\mbox{det}\begin{pmatrix}6&1\\ 1&1\end{pmatrix}=5>0

dalla cui positività segue che \mathrm{C} è un'ellisse.

Abbiamo finito!
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Os