Divisione tra due polinomi

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Divisione tra due polinomi #6483

avt
Alessandro Michienzi
Punto
Ciao a tutti, mi potreste aiutare a svolgere le divisioni tra due polinomi? È un metodo molto complicato che io ancora non ho capito. Sono quelle che si svolgono come le divisioni in colonna! In questa particolare circostanza, sia il dividendo che il divisore sono a coefficienti fratti e io non so dove mettere le mani.


Calcolare il quoziente e il resto della seguente divisione polinomiale.

\left(a^5 + \frac{1}{2} a^4 + 3 a^3 - \frac{1}{2} a^2 + \frac{5}{4} a - \frac{3}{2}\right) : \left(a^3 + a^2 - \frac{3}{2}\right)

Grazie mille!
 
 

Divisione tra due polinomi #6571

avt
Omega
Amministratore
Prima di svolgere la divisione tra polinomi occorre effettuare alcune osservazioni.

Abbiamo un polinomio P(a) che vogliamo dividere per un polinomio D(a), nel nostro caso:

\\ P(a)=a^5+\frac{1}{2}a^4+3a^3-\frac{1}{2}a^2+\frac{5}{4}a-\frac{3}{2} \\ \\ \\ D(a)=a^3+a^2-\frac{3}{2}

Per procedere nella divisione, disponiamo il polinomio P(a) su una riga, segniamo una linea verticale e dopo di essa scriviamo, sulla stessa riga, il polinomio D(a).

Se il polinomio P(a) non fosse completo, cioè non avesse tutti i monomi di grado compreso tra quello massimo (qui 5) e quello minimo (sempre 0) dovremmo scrivere un bello "zero" al posto di tutti gli elementi con grado che non compare nel polinomio. Qui non è il nostro caso, quindi possiamo procedere.

\begin{array}{cccccc|ccc}a^5 & +\frac{1}{2}a^{4}& +3a^3 & -\frac{1}{2}a^2 & +\frac{5}{4}a & -\frac{3}{2} & a^3 & +a^2 & -\frac{3}{2}\\ \cline{7-9} &&&&&&&&\end{array}

Dividiamo il termine di grado maggiore del polinomio dividendo, a^5, per il termine di grado maggiore del divisore, a^3, e riportiamo il risultato della divisione al di sotto del divisore: in altre parole scriviamo

(a^5):\left(a^3\right)=a^{5-3}=a^{2}

sotto il divisore.

\begin{array}{cccccc|ccc}a^5 & +\frac{1}{2}a^{4}& +3a^3 & -\frac{1}{2}a^2 & +\frac{5}{4}a & -\frac{3}{2} & a^3 & +a^2 & -\frac{3}{2}\\ \cline{7-9} &&&&&&a^2&&\end{array}

Moltiplichiamo ciascun termine del divisore per il monomio che abbiamo appena trovato:

a^2\left(a^3+a^2-\frac{3}{2}\right)=a^5+a^4-\frac{3}{2}a^2

e riportiamo il risultato incolonnato sotto il dividendo, disponendo ciascun termine in modo che su una colonna ci siano monomi dello stesso grado.

Quando riportiamo questo polinomio sotto P(a), cambiamo il segno di ogni termine.

\begin{array}{cccccc|ccc}a^5 & +\frac{1}{2}a^{4}& +3a^3 & -\frac{1}{2}a^2 & +\frac{5}{4}a & -\frac{3}{2} & a^3 & +a^2 & -\frac{3}{2}\\ \cline{7-9} &&&&&&a^2&& \\ -a^5&-a^4&&+\frac{3}{2}a^2&&&&& \\ \cline{1-6}&&&&&&&&\end{array}

Effettuiamo somme e sottrazioni in colonna e riportiamo il risultato sotto la linea orizzontale: esso rappresenta il primo resto parziale della divisione

\begin{array}{cccccc|ccc}a^5 & +\frac{1}{2}a^{4}& +3a^3 & -\frac{1}{2}a^2 & +\frac{5}{4}a & -\frac{3}{2} & a^3 & +a^2 & -\frac{3}{2}\\ \cline{7-9} &&&&&&a^2&& \\ -a^5&-a^4&&+\frac{3}{2}a^2&&&&& \\ \cline{1-6}&&&&&&&\\ //&-\frac{1}{2}a^4&+3a^3&+a^2&+\frac{5}{4}a&-\frac{3}{2}&&&\end{array}

Ripetiamo il procedimento: dividiamo il primo termine del resto parziale per il primo termine del divisore

\left(-\frac{1}{2}a^4\right):a^3=-\frac{1}{2}a^{4-3}=-\frac{1}{2}a

e scriviamo questo numero sotto il divisore, dove ora abbiamo il polinomio a^2-\frac{1}{2}a.

\begin{array}{cccccc|ccc}a^5 & +\frac{1}{2}a^{4}& +3a^3 & -\frac{1}{2}a^2 & +\frac{5}{4}a & -\frac{3}{2} & a^3 & +a^2 & -\frac{3}{2}\\ \cline{7-9} &&&&&&a^2&-\frac{1}{2}a& \\ -a^5&-a^4&&+\frac{3}{2}a^2&&&&& \\ \cline{1-6}&&&&&&&\\ //&-\frac{1}{2}a^4&+3a^3&+a^2&+\frac{5}{4}a&-\frac{3}{2}&&&\end{array}

Moltiplichiamo -\frac{1}{2}a per il divisore (a^3+a^2-\frac{3}{2})

-\frac{1}{2}a\left(a^3+a^2-\frac{3}{2}a\right)=-\frac{1}{2}a^4-\frac{1}{2}a^3+\frac{3}{4}a

cambiamo segno ai termini del risultato e incolonniamoli con il resto parziale facendo sempre bene attenzione a incolonnare i monomi in modo che su ciascuna colonna ci siano monomi dello stesso grado.

\begin{array}{cccccc|ccc}a^5 & +\frac{1}{2}a^{4}& +3a^3 & -\frac{1}{2}a^2 & +\frac{5}{4}a & -\frac{3}{2} & a^3 & +a^2 & -\frac{3}{2}\\ \cline{7-9} &&&&&&a^2&-\frac{1}{2}a& \\ -a^5&-a^4&&+\frac{3}{2}a^2&&&&& \\ \cline{1-6}&&&&&&&\\ //&-\frac{1}{2}a^4&+3a^3&+a^2&+\frac{5}{4}a&-\frac{3}{2}&&& \\ &&&&&&&& \\ &\frac{1}{2}a^4&+\frac{1}{2}a^3&&-\frac{3}{4}a&&& \\ \cline{2-6}&&&&&&&\end{array}

Effettuiamo somma e differenza per colonne, riportando i risultati sotto la linea di separazione orizzontale

\begin{array}{cccccc|ccc}a^5 & +\frac{1}{2}a^{4}& +3a^3 & -\frac{1}{2}a^2 & +\frac{5}{4}a & -\frac{3}{2} & a^3 & +a^2 & -\frac{3}{2}\\ \cline{7-9} &&&&&&a^2&-\frac{1}{2}a& \\ -a^5&-a^4&&+\frac{3}{2}a^2&&&&& \\ \cline{1-6}&&&&&&&\\ //&-\frac{1}{2}a^4&+3a^3&+a^2&+\frac{5}{4}a&-\frac{3}{2}&&& \\ &&&&&&&& \\ &\frac{1}{2}a^4&+\frac{1}{2}a^3&&-\frac{3}{4}a&&& \\ \cline{2-6}&&&&&&&\\ &//& +\frac{7}{2}a^3&+a^2&+\frac{1}{2}a&-\frac{3}{2}&&&\end{array}

Infine, ripetendo il procedimento, troviamo come divisore dei termini di grado massimo \frac{7}{2}. Scriviamo questo termine al di sotto del divisore, dove ora abbiamo il polinomio a^2-\frac{1}{2}a+\frac{7}{2}.

\begin{array}{cccccc|ccc}a^5 & +\frac{1}{2}a^{4}& +3a^3 & -\frac{1}{2}a^2 & +\frac{5}{4}a & -\frac{3}{2} & a^3 & +a^2 & -\frac{3}{2}\\ \cline{7-9} &&&&&&a^2&-\frac{1}{2}a&+\frac{7}{2} \\ -a^5&-a^4&&+\frac{3}{2}a^2&&&&& \\ \cline{1-6}&&&&&&&\\ //&-\frac{1}{2}a^4&+3a^3&+a^2&+\frac{5}{4}a&-\frac{3}{2}&&& \\ &&&&&&&& \\ &\frac{1}{2}a^4&+\frac{1}{2}a^3&&-\frac{3}{4}a&&& \\ \cline{2-6}&&&&&&&\\ &//& +\frac{7}{2}a^3&+a^2&+\frac{1}{2}a&-\frac{3}{2}&&&\end{array}

Moltiplichiamo \frac{7}{2} per il divisore e, cambiando segno, riportiamo il risultato sotto la colonna di sinistra

\begin{array}{cccccc|ccc}a^5 & +\frac{1}{2}a^{4}& +3a^3 & -\frac{1}{2}a^2 & +\frac{5}{4}a & -\frac{3}{2} & a^3 & +a^2 & -\frac{3}{2}\\ \cline{7-9} &&&&&&a^2&-\frac{1}{2}a&+\frac{7}{2} \\ -a^5&-a^4&&+\frac{3}{2}a^2&&&&& \\ \cline{1-6}&&&&&&&\\ //&-\frac{1}{2}a^4&+3a^3&+a^2&+\frac{5}{4}a&-\frac{3}{2}&&& \\ &&&&&&&& \\ &\frac{1}{2}a^4&+\frac{1}{2}a^3&&-\frac{3}{4}a&&& \\ \cline{2-6}&&&&&&&\\ &//& +\frac{7}{2}a^3&+a^2&+\frac{1}{2}a&-\frac{3}{2}&&& \\&&&&&&&& \\ &&-\frac{7}{2}a^3&-\frac{7}{2}a^2&&+\frac{21}{4}&&& \\ \cline{3-6}&&&&&&& \end{array}

Effettuiamo le ultime somme e sottrazioni per colonna e incolonniamo il risultato sotto la linea di separazione

\begin{array}{cccccc|ccc}a^5 & +\frac{1}{2}a^{4}& +3a^3 & -\frac{1}{2}a^2 & +\frac{5}{4}a & -\frac{3}{2} & a^3 & +a^2 & -\frac{3}{2}\\ \cline{7-9} &&&&&&a^2&-\frac{1}{2}a&+\frac{7}{2} \\ -a^5&-a^4&&+\frac{3}{2}a^2&&&&& \\ \cline{1-6}&&&&&&&\\ //&-\frac{1}{2}a^4&+3a^3&+a^2&+\frac{5}{4}a&-\frac{3}{2}&&& \\ &&&&&&&& \\ &\frac{1}{2}a^4&+\frac{1}{2}a^3&&-\frac{3}{4}a&&& \\ \cline{2-6}&&&&&&&\\ &//& +\frac{7}{2}a^3&+a^2&+\frac{1}{2}a&-\frac{3}{2}&&& \\&&&&&&&& \\ &&-\frac{7}{2}a^3&-\frac{7}{2}a^2&&+\frac{21}{4}&&& \\ \cline{3-6}&&&&&&& \\ &&//&-\frac{5}{2}a^2&+\frac{1}{2}a&+\frac{15}{4}&& \\ \end{array}

Abbiamo terminato perché il grado del resto è 2 ed è minore di quello del polinomio dividendo (3).

L'ultimo polinomio che abbiamo nella colonna di sinistra è il resto della divisione R(a), mentre il polinomio che abbiamo trovato nella colonna di sinistra è il risultato della divisione Q(a), ossia:

\\ Q(a)=a^2-\frac{1}{2}a+\frac{7}{2}\\ \\ \\ R(a)=-\frac{5}{2}a^2+\frac{1}{2}a+\frac{15}{4}

Ecco fatto!
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, frank094, Ifrit, Alessandro Michienzi

Re: Divisione tra due polinomi #6612

avt
Alessandro Michienzi
Punto
Mille grazie!
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