Calcolo di cubi e quadrati di binomi

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Calcolo di cubi e quadrati di binomi #5813

avt
Alessandro Michienzi
Punto
Ciao a tutti, volevo chiedervi se mi potreste dare un mano nello sviluppare i cubi di binomi a coefficienti fratti e il quadrato di un trinomio a coefficienti periodici.

Usare i prodotti notevoli per sviluppare le seguenti potenze di polinomi.

((2)/(3)x^2 y-(3)/(2) xy)^3 ; (-(1)/(4) xyz-1)^3 ; ((1)/(12) a^2 bc-(4)/(3) abc)^3 ; (0,2x-0, bar3 y+0, bar4)^2

Grazie mille.
 
 

Calcolo di cubi e quadrati di binomi #5883

avt
Ifrit
Amministratore
Per poter risolvere gli esercizi proposti, occorre usare i prodotti notevoli mediante i quali riusciremo a calcolare le potenze senza grosse difficoltà.

Utilizzeremo il cubo di un binomio che consente di esprimere il cubo della somma di due monomi come il quadrinomio formato dal cubo del primo monomio, dal triplo prodotto del primo per il secondo, dal triplo prodotto del primo per il secondo monomio al quadrato e dal cubo del secondo monomio:

(A+B)^3 = A^3+3A^2B+3AB^2+B^3

Oltre al cubo di binomio, avremo bisogno della regola per il quadrato di un trinomio: essa consente di scrivere la somma di tre monomi come un polinomio formato dalla somma dei quadrati dei tre monomi aumentata dei loro doppi prodotti. In simboli matematici:

(A+B+C)^2 = A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC

Dopo questa parentesi teorica, possiamo occuparci dell'esercizio.

Per sviluppare il cubo di binomio

((2)/(3)x^2 y-(3)/(2)xy)^3

occorre usare il prodotto notevole omonimo scegliendo

A = (2)/(3)x^2 y e B = -(3)/(2)xy

grazie al quale possiamo scrivere la seguente uguaglianza:

((2)/(3)x^2y-(3)/(2)x y)^3 = ((2)/(3)x^2y)^3+3((2)/(3)x^2y)^2(-(3)/(2)x y)+3((2)/(3)x^2y) (-(3)/(2)x y)^2+(-(3)/(2)x y)^3 =

Svolgiamo i conti, utilizzando le proprietà delle potenze e la regola dei segni:

= (8)/(27)x^6y^3-3((4)/(9)x^4y^2)((3)/(2)xy)+3((2)/(3)x^2y)((9)/(4)x^2 y^2)-(27)/(8)x^3 y^3 =

Portiamo a termine le operazioni tra i monomi e riduciamo ai minimi termini le frazioni

= (8)/(27)x^6y^3-(2x^4y^2)(x y)+(x^2y) ((9)/(2)x^2 y^2)-(27)/(8)x^3 y^3 = (8)/(27)x^6y^3-2x^5y^3+(9)/(2)x^4 y^3-(27)/(8)x^3 y^3

Ecco fatto!


Sviluppiamo il cubo di binomio

(-(1)/(4)xyz-1)^3 =

osservando che il binomio base può essere espresso come segue:

= [(-(1)/(4) xyz)+(-1)]^3 =

A questo punto, possiamo avvalerci del prodotto notevole relativo al cubo di binomio, ponendo:

A = (-(1)/(4)x y z) e B = -1

mediante il quale ricaviamo la seguente espressione:

= (-(1)/(4)x y z)^3+3(-(1)/(4)x y z)^2(-1)+3(-(1)/(4)xyz)(-1)^2+(-1)^3 =

Svolgiamo le potenze dei monomi

= -(1)/(64)x^3y^3z^3+3((1)/(16)x^2y^2 z^2)(-1)+3(-(1)/(4)x y z)-1 =

riduciamo le frazioni ai minimi termini e scriviamo il polinomio risultante

= -(1)/(64)x^3y^3z^3-(3)/(16)x^2y^2z^2-(3)/(4)xyz-1

Ecco fatto!


Per sviluppare il cubo di binomio

((1)/(12) a^2 bc-(4)/(3) abc)^3

è sufficiente avvalersi del prodotto notevole

(A+B)^(3) = A^3+3A^2B+3AB^2+B^3

dove

A = (1)/(12) a^2 b c e B = -(4)/(3)abc

Sostituendoli nella regola del cubo di binomio, ricaviamo la seguente uguaglianza:

((1)/(12) a^2 bc-(4)/(3) abc)^3 = ((a^2bc)/(12))^3+3((a^2bc)/(12))^2(-(abc)/(3))+3((a^2bc)/(12)) (-(4abc)/(3))^2+(-(4abc)/(3))^3 =

Svolgiamo le operazioni tra i monomi e determiniamo i segni dei termini avvalendoci della regola dei segni

= ((a^2bc)/(12))^3-3((a^2 b c)/(12))^2((4abc)/(3))+3((a^2 b c)/(12)) ((4abc)/(3))^2-((4abc)/(3))^3 = (a^6 b^3 c^3)/(1728)-3((a^4 b^2 c^2)/(144))((4abc)/(3))+3((a^2 b c)/(12))((16 a^2 b^2 c^2)/(9))-(64 a^3b^3c^3)/(27) =

Semplifichiamo i termini e scriviamo lo sviluppo

= (a^6 b^3 c^3)/(1728)-(1)/(36)a^5 b^3 c^3+(4)/(9)a^4 b^3 c^3-(64)/(24)a^3 b^3 c^3

Abbiamo finito.


Prima di sviluppare il quadrato di trinomio

(0,2x-0, bar3 y+0, bar4)^2

dobbiamo trasformare i numeri decimali in frazioni.

0,2 è un numero decimale limitato e la sua frazione generatrice ha al numeratore il numero senza la virgola e al denominato un uno seguito da tanti zeri quante sono le cifre dopo la virgola:

0,2 = (2)/(10) = (1)/(5)

0,3 e 0,4 sono due numeri periodici. Le loro frazioni generatrici si ricavano semplicemente scrivendo i numeri senza la virgola al numeratore e tanti nove quante sono le cifre del periodo al denominatore

0,3 = (3)/(9) = (1)/(3) e 0,4 = (4)/(9)

Sostituiamo i coefficienti decimali con le rispettive frazioni generatrici riconducendoci all'espressione:

((1)/(5)x+(-(1)/(3))y+(4)/(9))^2

Per poter svilupparlo, usiamo il prodotto notevole

(A+B+C)^2 = A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC

in cui A, B e C sono:

A = (1)/(5)x , B = -(1)/(3)y , C = (4)/(9)

Rimpiazzando le espressioni nel prodotto notevole, otteniamo:

((1)/(5)x+(-(1)/(3))y+(4)/(9))^2 = ((x)/(5))^2+(-(y)/(3))^2+((4)/(9))^2+2 ((x)/(5))(-(y)/(3))+2 ((x)/(5))((4)/(9))+2(-(y)/(3))((4)/(9)) =

Svolgiamo le operazioni con i monomi, semplifichiamo i termini e scriviamo lo sviluppo:

= (1)/(25)x^2+(1)/(9)y^2+(16)/(81)-(2)/(15)xy+(8)/(45)x-(8)/(27)y

Ecco fatto.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, frank094
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