Calcolo del valore finale con la variazione percentuale e valore iniziale

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Calcolo del valore finale con la variazione percentuale e valore iniziale #27039

avt
Tiziana001
Punto
Ho iniziato da poco gli esercizi sul calcolo percentuale ma già riscontro delle difficoltà. Dovrei calcolare il valore finale di alcune grandezze di cui sono note il valore iniziale e la variazione percentuale. La mia insegnante mi ha detto che dovrei impostare una proporzione. Potreste aiutarmi?

Calcolare il valore finale Q_{f} delle seguenti grandezze, noti il loro valore iniziale Q_{i} e la variazione percentuale V\% riportata a fianco.

\begin{array}{llll}(a)&Q_{i}=100\mbox{ m}&&V\%=20\%\\ \\ (b)& Q_i=10\ \frac{\mbox{km}}{\mbox{h}}&&V\%=-10\%\\ \\ (c)& Q_i=5\mbox{ cm}&&V\%=21\%\\ \\ (d)&Q_i=2,5\ \ell&& V\%=-1,5\%\end{array}

Grazie.
 
 

Calcolo del valore finale con la variazione percentuale e valore iniziale #27058

avt
Omega
Amministratore
Questo è un classico esercizio sul calcolo percentuale che può essere risolto con un'opportuna proporzione.

Consideriamo una grandezza e indichiamo con

\bullet \ \ \ Q_{i} il valore iniziale che essa assume;

\bullet \ \ \ Q_{f} il valore finale che assume;

\bullet \ \ \ V\% la variazione percentuale della grandezza.

Questi tre termini costituiscono la proporzione

(Q_{f}-Q_{i}):Q_{i}=V:100

grazie alla quale saremo in grado di risolvere l'esercizio.

(a) Dobbiamo calcolare il valore finale di una grandezza disponendo delle seguenti informazioni

Q_{i}=100 \mbox{ m}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ V\%=20\%

grazie alle quali possiamo impostare la proporzione

(Q_{f}-100\mbox{ m}):100\mbox{ m}=20:100

Per risolverla usiamo la proprietà del comporre che stabilisce quanto segue: in una proporzione la somma tra i primi due termini sta al secondo come la somma tra gli altri due sta al quarto.

(Q_{f}-100\mbox{ m}+100\mbox{ m}):100\mbox{ m}=(20+100):100

Cancellando i termini opposti, la proporzione diventa

Q_{f}:100\mbox{ m}=120:100

Calcoliamo l'estremo incognito moltiplicando i medi noti e dividendo il prodotto per l'estremo noto

Q_{f}=\frac{100\mbox{ m}\times 120}{100}=120\mbox{ m}

Abbiamo finito!

(b) Sapendo che:

Q_{i}=10\ \frac{\mbox{km}}{\mbox{h}}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ V\%=-10\%

il nostro obiettivo prevede di calcolare Q_{f} usando la proporzione

(Q_{f}-Q_{i}):Q_{i}=V:100

che, una volta sostituiti i numeri, diventa

\left(Q_{f}-10\ \frac{\mbox{km}}{\mbox{h}}\right):10\ \frac{\mbox{km}}{\mbox{h}}=-10:100

Sfruttiamo a questo punto la proprietà del comporre, grazie alla quale ci riconduciamo alla proporzione

\left(Q_{f}-10\ \frac{\mbox{km}}{\mbox{h}}+10\ \frac{\mbox{km}}{\mbox{h}}\right):10\ \frac{\mbox{km}}{\mbox{h}}=(-10+100):100

ossia

Q_{f}:10\ \frac{\mbox{km}}{\mbox{h}}=90:100

A questo punto, l'unica incognita è proprio l'estremo Q_{f}, che possiamo esplicitare moltiplicando tra loro i medi e dividendo il loro prodotto per l'estremo noto.

Q_{f}=\frac{10\ \frac{\mbox{km}}{\mbox{h}}\times 90}{100}=9\ \frac{\mbox{km}}{\mbox{h}}

(c) Consideriamo i valori

Q_{i}=5\mbox{ cm}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ \ V\%=21\%

e calcoliamo il valore finale Q_{f} impostando la proporzione risolvente

(Q_{f}-Q_{i}):Q_{i}=V:100

Una volta sostituiti i valori, essa diventa

(Q_{f}-5\mbox{ cm}):5\mbox{ cm}=21:100

Per poter ricavare Q_{f} usiamo la proprietà del comporre, con cui ci riconduciamo alla proporzione

(Q_{f}-5\mbox{ cm}+5\mbox{ cm}):5\mbox{ cm}=(21+100):100

da cui cancellando i termini opposti

Q_{f}:5\mbox{ cm}=121:100

Per ricavare l'estremo incognito moltiplichiamo tra loro i medi e dividiamo per l'estremo noto

Q_{f}=\frac{5\mbox{ cm}\times 121}{100}=6,05\mbox{ cm}

Il valore finale è quindi 6,05\mbox{ cm}.

(d) Per calcolare il valore finale Q_{f} della grandezza, noti il suo valore iniziale Q_{i}=2,5\ \ell e la variazione percentuale V\%=-1,5\% occorre costruire la proporzione

(Q_{f}-Q_{i}):Q_{i}=V:100

e sostituire i valori forniti dal testo

(Q_{f}-2,5\ \ell):2,5\ \ell=-1,5:100

Usando la regola del comporre, ci riconduciamo alla proporzione

(Q_{f}-2,5\ \ell+2,5\ \ell):2,5\ \ell=(-1,5+100):100

da cui

Q_{f}:2,5\ \ell=98,5:100

Calcoliamo l'estremo incognito con la proprietà fondamentale delle proporzioni

Q_{f}=\frac{2,5\ \ell\times 98,5}{100}=2,4625\ \ell

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Ifrit, Tiziana001
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Os