Espressioni con il quadrato e il cubo di un binomio

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Espressioni con il quadrato e il cubo di un binomio #12437

avt
trilligiorgi
Cerchio
Vi sarei davvero grata se poteste darmi una mano a semplificare un paio di espressioni con quadrati e cubi di binomi.

Semplificare le seguenti espressioni polinomiali con gli opportuni prodotti notevoli

\\ \bullet \ \ \ [(x-1)^3+(x+1)^2(x+3)]-2x(x+5) \\ \\ \bullet \ \ \ (2x-1)^3-(x-2)^3+(1-2x)^2-(x-2)(x+2)

Grazie!
 
 

Espressioni con il quadrato e il cubo di un binomio #12439

avt
LittleMar
Design
L'esercizio propone due espressioni letterali da semplificare con gli opportuni prodotti notevoli.

Consideriamo l'espressione

[(x-1)^3+(x+1)^2(x+3)]-2x(x+5)=

Per poterla semplificare, sviluppiamo il cubo del binomio x-1 nelle parentesi quadre

=[x^3-3x^2+3x-1+(x+1)^2(x+3)]-2x(x+5)=

dopodiché esplicitiamo il quadrato del binomio x+1

=[x^3-3x^2+3x-1+(x^2+2x+1)(x+3)]-2x(x+5)=

Continuiamo la risoluzione svolgendo il prodotto tra i polinomi all'interno delle parentesi

=[x^3-3x^2+3x-1+x^3+3x^2+2x^2+6x+x+3]-2x(x+5)=

Sommiamo i monomi simili, addizionando i loro coefficienti

\\ =[(1+1)x^3+(-3+3+2)x^2+(3+6+1)x-1+3]-2x(x+5)= \\ \\ = 2x^3+2x^2+10x+2-2x(x+5)=

Eseguiamo a questo punto il prodotto tra il monomio e il polinomio, usando come si deve la regola dei segni

= 2x^3+2x^2+10x+2-2x^2-10x=

e, una volta sommati i termini con la stessa parte letterale, scriviamo il risultato

\\ =2x^3+(2-2)x^2+(10-10)x+2= \\ \\ = 2x^3+2

Abbiamo terminato!


Risolviamo l'espressione polinomiale.

(2x-1)^3-(x-2)^3+(1-2x)^2-(x-2)(x+2)=

Per prima cosa, sviluppiamo i due cubi e il quadrato con le regole per il quadrato di binomio e per il cubo di binomio, inoltre useremo la regola sul prodotto di una somma per una differenza per esplicitare (x-2)(x+2).

=8x^3-12x^2+6x-1-\left(x^3-6x^2+12x-8\right)+4x^2-4x+1-(x^2-4)=

Eliminiamo l'ultima coppia di parentesi cambiando il segno dei due termini

=8x^3-12x^2+6x-1-x^3+6x^2-12x+8+4x^2-4x+1-x^2+4=

e sommiamo e sottraiamo i monomi con la stessa parte letterale

\\ =(8-1)x^3+(-12+6+4-1)x^2+(6-12-4)x-1+8+1+4= \\ \\ =7x^3-3x^2-10x+12

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Re: Espressioni con il quadrato e il cubo di un binomio #12440

avt
trilligiorgi
Cerchio
Grazie mille. Tutto molto chiaro.
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Os