Espressioni con le potenze di monomi

Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere tre esercizi sulle espressioni con monomi e con polinomi. In dettaglio: il primo esercizio chiede di semplificare un'espressione con potenze di monomi, per cui bisogna usare le proprietà delle potenze; il secondo chiede di risolvere un'espressione polinomiale con i prodotti notevoli; il terzo richiede di svolgere un'espressione con i prodotti di polinomi.


Esercizio 1

Semplificare la seguente espressione con potenze di monomi, avvalendosi delle proprietà delle potenze:




Esercizio 2

Usando i prodotti notevoli, semplificare l'espressione polinomiale:




Esercizio 3

Risolvere la seguente espressione polinomiale




Grazie a chi mi aiuterà, le potenze mi creano parecchie difficoltà!

Esercizio 1

Per poter risolvere l'espressione con le potenze di monomi



possiamo tranquillamente usare le proprietà delle potenze, anzi, se non le utilizzassimo a dovere, i calcoli diventerebbero terribilmente complicati. Chiaramente bisogna sapere come si svolgono le operazioni tra monomi, altrimenti non andremo molto lontano.

Innanzitutto svolgiamo i prodotti tra i monomi interni alle parentesi quadre.

Nota: proprio perché sono prodotti di potenze con la stessa base, siamo autorizzati a usare l'omonima regola e ottenere l'espressione



Sviluppiamo le potenze di potenze



e sfruttiamo, inoltre, la regola sul quoziente di due potenze con la stessa base, grazie alla quale otteniamo la seguente espressione:



Non ci resta che distribuire l'esponente a ciascun fattore della base e portare a termine i calcoli



Abbiamo finito.


Esercizio 2

Consideriamo l'espressione polinomiale



Per poterla semplificare senza troppi patemi d'animo, useremo i prodotti notevoli, mediante i quali saremo in grado di diminuire il numero di passaggi.

Iniziamo dallo sviluppo del quadrato di binomio



dopodiché moltiplichiamo il monomio per il polinomio di secondo grado



A questo punto, usiamo la regola dei segni per svolgere l'ultimo prodotto e sommiamo in seguito i monomi simili



Sviluppiamo sia il cubo di binomio, sia il prodotto tra i polinomi:





Possiamo eliminare le parentesi tonde, a patto che si cambino i segni di tutti i termini al loro interno.





Finalmente, possiamo procedere con la somma dei monomi simili e scrivere il risultato.



Ecco fatto!


Esercizio 3

Per poter semplificare l'espressione



bisogna essenzialmente sapere come calcolare il prodotto tra polinomi.

Eseguendo le moltiplicazioni, infatti, otteniamo l'espressione:



A questo punto, usiamo la regola dei segni per eliminare le parentesi tonde: basta cambiare i segni dei monomi che si trovano al loro interno!



Sommiamo infine i monomi simili e scriviamo il risultato



Abbiamo finito!