Espressioni con le potenze di monomi

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#11680

trilligiorgi

Cerchio

Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere tre esercizi sulle espressioni con monomi e con polinomi. In dettaglio: il primo esercizio chiede di semplificare un'espressione con potenze di monomi, per cui bisogna usare le proprietà delle potenze; il secondo chiede di risolvere un'espressione polinomiale con i prodotti notevoli; il terzo richiede di svolgere un'espressione con i prodotti di polinomi.

Esercizio 1

Semplificare la seguente espressione con potenze di monomi, avvalendosi delle proprietà delle potenze:

[(−(3)/(4)a^2bc)^3(−(3)/(4)a^2bc)]^4: [(−(3)/(4)a^2bc)^5(−(3)/(4)a^2bc)^2]^2

Esercizio 2

Usando i prodotti notevoli, semplificare l'espressione polinomiale:

Esercizio 3

Risolvere la seguente espressione polinomiale

Grazie a chi mi aiuterà, le potenze mi creano parecchie difficoltà!

Ringraziano: Davidale

#11690

LittleMar

Design

Esercizio 1

Per poter risolvere l'espressione con le potenze di monomi

[(−(3)/(4)a^2bc)^3(−(3)/(4)a^2bc)]^4: [(−(3)/(4)a^2bc)^5(−(3)/(4)a^2bc)^2]^2 =

possiamo tranquillamente usare le proprietà delle potenze, anzi, se non le utilizzassimo a dovere, i calcoli diventerebbero terribilmente complicati. Chiaramente bisogna sapere come si svolgono le operazioni tra monomi, altrimenti non andremo molto lontano.

Innanzitutto svolgiamo i prodotti tra i monomi interni alle parentesi quadre.

Nota: proprio perché sono prodotti di potenze con la stessa base, siamo autorizzati a usare l'omonima regola e ottenere l'espressione

= [(−(3)/(4)a^2bc)^(3+1)]^4:[(−(3)/(4)a^2bc)^(5+2)]^2 = [(−(3)/(4)a^2bc)^4]^4:[(−(3)/(4)a^2bc)^7]^2 =

Sviluppiamo le potenze di potenze

= [(−(3)/(4)a^2bc)^(4·4)]:[(−(3)/(4)a^2bc)^(7·2)] = (−(3)/(4)a^2bc)^(16):(−(3)/(4)a^2bc)^(14) =

e sfruttiamo, inoltre, la regola sul quoziente di due potenze con la stessa base, grazie alla quale otteniamo la seguente espressione:

= (−(3)/(4)a^2bc)^(16−14) = (−(3)/(4)a^2bc)^2 =

Non ci resta che distribuire l'esponente a ciascun fattore della base e portare a termine i calcoli

= (−(3)/(4))^2a^(2·2)b^2c^2 = (9)/(16)a^4b^2c^2

Abbiamo finito.

Esercizio 2

Consideriamo l'espressione polinomiale

Per poterla semplificare senza troppi patemi d'animo, useremo i prodotti notevoli, mediante i quali saremo in grado di diminuire il numero di passaggi.

Iniziamo dallo sviluppo del quadrato di binomio

dopodiché moltiplichiamo il monomio per il polinomio di secondo grado

A questo punto, usiamo la regola dei segni per svolgere l'ultimo prodotto e sommiamo in seguito i monomi simili

= 25x^3+xy^2−10x^2y−(x−2y)^3+2(x−y)(3x^2−y^2)−10y^3+15xy^2 = 25x^3+16xy^2−10x^2y−(x−2y)^3+2(x−y)(3x^2−y^2)−10y^3 =

Sviluppiamo sia il cubo di binomio, sia il prodotto tra i polinomi:

Possiamo eliminare le parentesi tonde, a patto che si cambino i segni di tutti i termini al loro interno.

Finalmente, possiamo procedere con la somma dei monomi simili e scrivere il risultato.

= (25+6−1)x^3+(16−12−2)xy^2+(−10+6−6)x^2y+(8+2−10)y^3 = 30x^3+2xy^2−10x^2y

Ecco fatto!

Esercizio 3

Per poter semplificare l'espressione

bisogna essenzialmente sapere come calcolare il prodotto tra polinomi.

Eseguendo le moltiplicazioni, infatti, otteniamo l'espressione:

A questo punto, usiamo la regola dei segni per eliminare le parentesi tonde: basta cambiare i segni dei monomi che si trovano al loro interno!

Sommiamo infine i monomi simili e scriviamo il risultato

= (1−1−2)x^2+(−3+2−3+1)x−6+3+18 = −2x^2−3x+15

Abbiamo finito!

Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094, trilligiorgi, CarFaby, Marsofia

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