Espressioni con le potenze di monomi

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Espressioni con le potenze di monomi #11680

avt
trilligiorgi
Cerchio
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere tre esercizi sulle espressioni con monomi e con polinomi. In dettaglio: il primo esercizio chiede di semplificare un'espressione con potenze di monomi, per cui bisogna usare le proprietà delle potenze; il secondo chiede di risolvere un'espressione polinomiale con i prodotti notevoli; il terzo richiede di svolgere un'espressione con i prodotti di polinomi.


Esercizio 1

Semplificare la seguente espressione con potenze di monomi, avvalendosi delle proprietà delle potenze:

\left[\left(-\frac{3}{4}a^2bc\right)^3\left(-\frac{3}{4}a^2bc\right)\right]^4: \left[\left(-\frac{3}{4}a^2bc\right)^5\left(-\frac{3}{4}a^2bc\right)^2\right]^2


Esercizio 2

Usando i prodotti notevoli, semplificare l'espressione polinomiale:

x(5x-y)^2-(x-2y)^3+2(x-y)(3x^2-y^2)-5y^2(2y-3x)


Esercizio 3

Risolvere la seguente espressione polinomiale

(x+2)(x-3)-(x-1)(x+3)-2(x^2-9)


Grazie a chi mi aiuterà, le potenze mi creano parecchie difficoltà!
Ringraziano: Davidale
 
 

Espressioni con le potenze di monomi #11690

avt
LittleMar
Design
Esercizio 1

Per poter risolvere l'espressione con le potenze di monomi

\left[\left(-\frac{3}{4}a^2bc\right)^3\left(-\frac{3}{4}a^2bc\right)\right]^4: \left[\left(-\frac{3}{4}a^2bc\right)^5\left(-\frac{3}{4}a^2bc\right)^2\right]^2=

possiamo tranquillamente usare le proprietà delle potenze, anzi, se non le utilizzassimo a dovere, i calcoli diventerebbero terribilmente complicati. Chiaramente bisogna sapere come si svolgono le operazioni tra monomi, altrimenti non andremo molto lontano.

Innanzitutto svolgiamo i prodotti tra i monomi interni alle parentesi quadre.

Nota: proprio perché sono prodotti di potenze con la stessa base, siamo autorizzati a usare l'omonima regola e ottenere l'espressione

\\ =\left[\left(-\frac{3}{4}a^2bc\right)^{3+1}\right]^4:\left[\left(-\frac{3}{4}a^2bc\right)^{5+2}\right]^2=\\ \\ \\ =\left[\left(-\frac{3}{4}a^2bc\right)^4\right]^4:\left[\left(-\frac{3}{4}a^2bc\right)^7\right]^2=

Sviluppiamo le potenze di potenze

\\ =\left[\left(-\frac{3}{4}a^2bc\right)^{4\cdot{4}}\right]:\left[\left(-\frac{3}{4}a^2bc\right)^{7\cdot{2}}\right]=\\ \\ \\ =\left(-\frac{3}{4}a^2bc\right)^{16}:\left(-\frac{3}{4}a^2bc\right)^{14}=

e sfruttiamo, inoltre, la regola sul quoziente di due potenze con la stessa base, grazie alla quale otteniamo la seguente espressione:

\\ =\left(-\frac{3}{4}a^2bc\right)^{16-14}= \\ \\ \\ = \left(-\frac{3}{4}a^2bc\right)^2=

Non ci resta che distribuire l'esponente a ciascun fattore della base e portare a termine i calcoli

=\left(-\frac{3}{4}\right)^2a^{2\cdot 2}b^2c^2=\frac{9}{16}a^4b^2c^2

Abbiamo finito.


Esercizio 2

Consideriamo l'espressione polinomiale

x(5x-y)^2-(x-2y)^3+2(x-y)(3x^2-y^2)-5y^2(2y-3x)=

Per poterla semplificare senza troppi patemi d'animo, useremo i prodotti notevoli, mediante i quali saremo in grado di diminuire il numero di passaggi.

Iniziamo dallo sviluppo del quadrato di binomio

=x(25x^2+y^2-10xy)-(x-2y)^3+2(x-y)(3x^2-y^2)-5y^2(2y-3x)=

dopodiché moltiplichiamo il monomio x per il polinomio di secondo grado

=25x^3+xy^2-10x^2y-(x-2y)^3+2(x-y)(3x^2-y^2)-5y^2(2y-3x)=

A questo punto, usiamo la regola dei segni per svolgere l'ultimo prodotto e sommiamo in seguito i monomi simili

\\ =25x^3+xy^2-10x^2y-(x-2y)^3+2(x-y)(3x^2-y^2)-10y^3+15xy^2= \\ \\ =25x^3+16xy^2-10x^2y-(x-2y)^3+2(x-y)(3x^2-y^2)-10y^3=

Sviluppiamo sia il cubo di binomio, sia il prodotto tra i polinomi:

=25x^3+16xy^2-10x^2y-(x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3)+

+6x^3-6x^2y-2x y^2+2 y^3-10y^3=


Possiamo eliminare le parentesi tonde, a patto che si cambino i segni di tutti i termini al loro interno.

=25x^3+16xy^2-10x^2y-x^3+6x^2y-12xy^2+8y^3+

+6x^3-6x^2y-2x y^2+2 y^3-10y^3=


Finalmente, possiamo procedere con la somma dei monomi simili e scrivere il risultato.

\\ =(25+6-1)x^3+(16-12-2)xy^2+(-10+6-6)x^2y+(8+2-10)y^3= \\ \\ = 30x^3+2xy^2-10x^2y

Ecco fatto!


Esercizio 3

Per poter semplificare l'espressione

(x+2)(x-3)-(x-1)(x+3)-2(x^2-9)=

bisogna essenzialmente sapere come calcolare il prodotto tra polinomi.

Eseguendo le moltiplicazioni, infatti, otteniamo l'espressione:

=x^2-3x+2x-6-(x^2+3x-x-3)-2x^2+18=

A questo punto, usiamo la regola dei segni per eliminare le parentesi tonde: basta cambiare i segni dei monomi che si trovano al loro interno!

=x^2-3x+2x-6-x^2-3x+x+3-2x^2+18=

Sommiamo infine i monomi simili e scriviamo il risultato

\\ =(1-1-2)x^2+(-3+2-3+1)x-6+3+18=\\ \\ =-2x^2-3x+15

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094, trilligiorgi, CarFaby, Marsofia
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Os