Monomi e polinomi

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Monomi e polinomi #11067

avt
trilligiorgi
Cerchio
Cosa sono monomi e polinomi e come si definiscono? Potete darmi una spiegazione rapida e dirmi quali sono le cose principali da sapere su polinomi e monomi?

Mi servirebbe in preparazione della verifica, grazie mille.
 
 

Monomi e polinomi #11069

avt
LittleMar
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Monomi e polinomi sono due tipi di espressioni algebriche letterali, ossia due particolari tipi di espressioni matematiche in cui compaiono operazioni da eseguire su numeri e lettere.

Procediamo con ordine e vediamo dapprima cos'è un monomio e tutto quello che c'è da sapere sui monomi, per poi passare ai polinomi.

L'argomento è piuttosto vasto, quindi ci limiteremo a fornire le definizioni principali e a vedere qualche esempio. Per tutti gli approfondimenti del caso puoi consultare le pagine dei link che man mano verranno proposti.

Cos'è un monomio

Un monomio è un'espressione costituita da una parte numerica e da una parte letterale moltiplicate tra loro. Nella parte letterale devono comparire solo le operazioni di moltiplicazione ed elevamento a potenza; inoltre, i fattori letterali devono avere come esponente un numero naturale.

3ab, \ \ \frac{1}{2}x^2y^3, \ \ \sqrt{3}a^3b^6, \ \ -\frac{1}{4}xy^2z^5, \ \ \frac{\sqrt[3]{2}}{5}x^3,\ \ (\sqrt{2}+3)x

sono tutti esempi di monomi. Al contrario, le seguenti espressioni letterali non sono monomi:

2ab^{-2}, \ \ \frac{1}{3}\sqrt{x}, \ \ \frac{4x}{y}, \ \ 2x^2+y^3, \ \ \frac{1}{2}x^{-1}

Monomio ridotto in forma normale

Si dice che un monomio è ridotto in forma normale quando si presenta come il prodotto tra un unico fattore numerico e potenze letterali con basi diverse.

L'unico fattore numerico di un monomio ridotto in forma normale è detto coefficiente, mentre il prodotto tra la varie potenze letterali si dice parte letterale del monomio.

Quando il coefficiente di un monomio è 1 lo si omette, mentre se il coefficiente di un monomio è -1 si riporta solo il segno meno davanti alla parte letterale.

-5a^2b^3c

è un monomio ridotto in forma normale, avente come coefficiente -5 e come parte letterale a^2b^3c.

xy^5

è un monomio ridotto in forma normale, il cui coefficiente è 1 e la cui parte letterale è xy^5.

Altri esempi di monomi ridotti in forma normale: nel terzo caso il coefficiente numerico è dato dal numero (1+\sqrt{5})

3x,\ \ 12xyz^4,\ \ (1+\sqrt{5})x

Esempi di monomi che non sono

x+2x,\ \ (3\cdot 4)xzyz^3,\ \ x+x\sqrt{5}

Monomi uguali

Due o più monomi sono uguali quando, ridotti in forma normale, hanno lo stesso coefficiente e la stessa parte letterale.

Ad esempio

3xy^2 \mbox{ e } 3yxy

sono due monomi uguali, infatti riducendo il secondo monomio in forma normale si ottiene 3xy^2 che ha stesso coefficiente e stessa parte letterale del primo monomio.

Monomi opposti

Si dicono monomi opposti due monomi che hanno stessa parte letterale e i cui coefficienti sono numeri opposti.

5a^3b^2 \mbox{ e } -5a^3b^2

sono un esempio di monomi opposti.

Monomi simili

Due o più monomi si dicono simili quando hanno la stessa parte letterale.

a^3b^2c, \ \ 9a^3b^2c, \ \ \frac{1}{2}a^3b^2c

sono tre monomi simili.

I monomi uguali e i monomi opposti sono casi particolari di monomi simili.

Grado di un monomio

Si dice grado di un monomio la somma di tutti gli esponenti che compongono la parte letterale del monomio.

7xyz è un monomio di grado 3, infatti la parte letterale del monomio è formata dal prodotto di tre lettere tutte aventi esponente 1;

-2x^2y^2z^3 è un monomio di grado 2+2+3=7;

15a^3bc^5 è un monomio di grado 3+1+5=9.

-3 è un monomio di grado 0.

Operazioni tra monomi

Con operazioni tra monomi si intendono le principali operazioni matematiche di addizione, sottrazione, moltiplicazione ed elevamento a potenza riferite ai monomi.

Somma e differenza di monomi: si possono addizionare o sottrarre solo monomi simili, ossia monomi aventi la stessa parte letterale. In particolare:

- la somma tra due monomi simili è un nuovo monomio che ha come coefficiente la somma dei coefficienti e come parte letterale la stessa parte letterale dei monomi che si stanno sommando;

- la differenza tra due monomi simili è un monomio avente come coefficiente la differenza tra i coefficienti e come parte letterale la stessa parte letterale dei monomi di partenza.

Spesso si definisce la differenza tra due monomi come la somma tra il primo monomio e l'opposto del secondo. Quindi invece di somma e differenza tra monomi si preferisce parlare di somma algebrica tra monomi:

la somma algebrica di due o più monomi simili è un monomio, simile a quelli assegnati, che ha per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.

\\ 2a^2bc + 6a^2bc = (2+6)a^2bc = 8 a^2bc \\ \\ 9xy^2z^3 - 5xy^2z^3 = (9-5)xy^2z^3 = 4 xy^2z^3 \\ \\ 2ab^2c^3-5ab^2c^3+7ab^2c^3=(2-5+7)ab^2c^3=4ab^2c^3

Prodotto tra monomi: il prodotto di due o più monomi è un monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti e come parte letterale il prodotto di tutti i fattori letterali.

Ogni fattore della parte letterale compare una sola volta nel prodotto, e il suo esponente è la somma degli esponenti con i quali ogni lettera compare nei singoli monomi.

\\ (8xy^2z)\left(\frac{1}{4}\right)x^2y^3z =\left(8 \cdot \frac{1}{4}\right) x^{1+2}y^{2+3}z^{1+1}=2x^3y^5z^2 \\ \\ \\ \left(-\frac{1}{2}ab^2\right)\left(\frac{4}{3}a^2bc\right)\left(\frac{9}{5}a^3bc^4\right)=\\ \\ \\ =\left(-\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{5}\right)a^{1+2+3}b^{2+1+1}c^{1+4}=-\frac{6}{5}a^6b^4c^5

Potenza di un monomio: per calcolare la potenza di un monomio si eleva a quella potenza il coefficiente del monomio e ciascun fattore della parte letterale.

\\ (-2a^2bc^3)^3 = (-2)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b)^3 \cdot (c^3)^3 = -8a^6b^3c^9 \\ \\ (-xy^3z^5)^2 = (-1)^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^3)^2 \cdot (z^5)^2 = x^4y^6z^{10}

Divisione tra monomi: si può svolgere la divisione tra due monomi solo se il primo monomio (detto dividendo) contiene tutte le lettere che compaiono nel secondo monomio (detto divisore).

Inoltre, ciascuna lettera del dividendo deve avere un esponente maggiore o uguale all'esponente che la stessa lettera ha nel divisore.

Se vengono rispettate queste due condizioni la divisione tra monomi si può svolgere e restituisce un nuovo monomio avente:

- come coefficiente il quoziente dei due coefficienti,

- come parte letterale il prodotto tra le lettere che compaiono nei due monomi, ciascuna elevata alla differenza degli esponenti che essa ha nel dividendo e nel divisore.

\\ (18a^5b^3c^4) : (3a^3b^2c) = \frac{18}{3}a^{5-3}b^{3-2}c^{4-1}=6a^2bc^3 \\ \\ \\ (10x^4y^2z^3) : (2x^3z) = \frac{10}{2}x^{4-3}y^{2-0}z^{3-1}=5xy^2z^2

Come risulta evidente dai vari esempi proposti, per svolgere la moltiplicazione e la divisione tra monomi e per calcolare la potenza di un monomio si ricorre alle proprietà delle potenze.

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Polinomi

Si dice polinomio la somma algebrica di due o più monomi.

3a^2b+2b^5, \ \ 2+xy+x^2y^3, \ \ \frac{1}{2}x-7xy-8y^3

sono tutti esempi di polinomi.

I monomi che formano un polinomio si dicono termini del polinomio.

Se un polinomio ha due soli termini si dice binomio, se ne ha tre si dice trinomio, se ne ha quattro è detto quadrinomio. Da 5 termini in poi solitamente non si utilizzano particolari nomi e ci si limita a dire che il polinomio ha N termini.

Polinomio ridotto in forma normale

Un polinomio si dice ridotto in forma normale se tra i suoi termini non vi sono monomi simili.

14 xy - 5 a^2b

è un polinomio ridotto in forma normale, mentre

2a^2b+3a^3b^2-a^2b

non è un polinomio ridotto in forma normale in quanto due dei suoi termini sono monomi simili (2a^2b \mbox{ e } -a^2b).

Per ridurre un polinomio in forma normale è sufficiente sommare i monomi simili.

La riduzione in forma normale del polinomio

2a^2b+3a^3b^2-a^2b

è

2a^2b+3a^3b^2-a^2b = a^2b-3a^3b^2

Polinomio opposto

Dato un polinomio, il suo polinomio opposto si ottiene cambiando il segno di tutti i coefficienti dei monomi che formano il polinomio.

L'opposto del polinomio

2xy-3x^2yz

è

-2xy+3x^2yz

Per leggere ulteriori esempi rimandiamo alla nostra lezione su cos'è un polinomio.

Grado di un polinomio

Il grado di un polinomio è il massimo dei gradi dei monomi che lo compongono.

Ad esempio, il grado del polinomio

2xy+9x^3y+2x^2y^2-xy^4

è 5. Infatti, il grado dei monomi che formano il polinomio sono, rispettivamente, 2, 4, 4, 5. Il massimo dei gradi dei monomi è 5 ed è grado complessivo del polinomio.

Operazioni con i polinomi

Somma tra polinomi: la somma tra due o più polinomi è un nuovo polinomio formato dalla somma dei monomi simili che compaiono nei polinomi da sommare.

\\ (2a+3b-c)+(6a-8b+5c) = \\ \\ = 2a+3b-c+6a-8b+5c=(2+6)a+(3-8)b+(-1+5)c = \\ \\ = 8a-5b+4c

Differenza tra polinomi: la differenza tra due polinomi si ottiene sommando al primo polinomio l'opposto del secondo.

\\ (5x+3y-2z) - (x-2y-8z) = \\ \\ = 5x+3y-2z-x+2y+8z = (5-1)x+(3+2)y+(-2+8)z = \\ \\ = 4x+5y+6z

Prodotto tra polinomi: il prodotto tra polinomi si calcola moltiplicando tutti i termini del primo polinomio per tutti i termini del secondo polinomio.

(2x+4y)(3x^2-5y^3) = \\ \\ (2x)(3x^2)+(2x)(-5y^3)+(4y)(3x^2)+(4y)(-5y^3)= \\ \\ = 6x^3-10xy^3+12x^2y-20y^4

Un caso particolare di prodotto tra polinomi è il prodotto tra un polinomio e un monomio.

Potenza di un polinomio: la potenza di un polinomio si ottiene moltiplicando il polinomio tante volte per se stesso quanto indicato dall'esponente.

(2x-y)^2=(2x-y)(2x-y)=4x^2-2xy-2xy+y^2=4x^2-4xy+y^2

Divisione tra polinomi: la divisione tra polinomi è un argomento molto delicato e difficile da spiegare in poche righe; per una spiegazione dettagliata su come si svolge rimandiamo alla lezione dell'ultimo link.

Un caso particolare della divisione tra polinomi è la divisione di un polinomio per un monomio.

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Nel calcolo letterale capita spesso di incontrare moltiplicazioni o potenze di polinomi particolari; i relativi sviluppi si ottengono svolgendo dei normali prodotti tra polinomi, ma i risultati hanno una forma facilmente memorizzabile.

Questi particolari prodotti si dicono prodotti notevoli, di cui puoi consultare un elenco e una spiegazione dettagliata nella lezione del link.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094, Ifrit, CarFaby
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