Differenza simmetrica

La differenza simmetrica, indicata con il simbolo Δ, è un'operazione insiemistica definita come unione tra la differenza tra il primo e il secondo insieme e la differenza tra il secondo e il primo insieme. In modo equivalente, la differenza simmetrica equivale all'unione tra i due insiemi meno la loro intersezione.

 

La quinta operazione tra insiemi che vi presentiamo è la differenza simmetrica. Come si intende dal nome è un'operazione definita a partire dalla differenza insiemistica, di cui abbiamo trattato nella precedente lezione; si tratta però di una nozione leggermente avanzata, cosicché consigliamo la lettura agli studenti delle scuole superiori e a salire.

 

Nella spiegazione seguiremo lo schema standard: partiremo dalla definizione, commentandola e proponendo le definizioni equivalenti. Fatto ciò passeremo alla rappresentazione dell'operazione mediante diagrammi di Venn, agli esempi e infine all'elenco delle proprietà della differenza simmetrica.

 

Cos'è la differenza simmetrica

 

Siano A,B\subseteq E contenuti in un insieme universo E. Chiamiamo differenza simmetrica tra i due insiemi l'insieme dato dall'unione tra:

 

- la differenza tra A,B\ \to\ A-B

 

- la differenza tra B,A\ \to\ B-A

 

Il simbolo della differenza simmetrica è la lettera greca maiuscola delta, dunque la indicheremo con

 

A\ \Delta\ B 

 

In accordo con la definizione data a parole, la differenza simmetrica è l'unione tra i due insiemi differenza (A-B) e (B-A), dunque

 

A\ \Delta\ B:=(A-B)\cup(B-A)

 

Ricordando come sono definite le operazioni di unione e di differenza insiemistica, proviamo a esprimere la differenza simmetrica per caratteristica e per mezzo di simboli matematici:

 

A\ \Delta\ B:=\{x\in E\ |\ \underbrace{(x\in A\ \wedge\ x\notin B)}_{A-B}\ \underbrace{\vee}_{\cup}\ \underbrace{(x\in B\ \wedge\ x\notin A)}_{B-A}\}

 

dove \wedge,\vee indicano rispettivamente i connettivi logici "e" (l'uno e l'altro) e la "o" inclusiva (l'uno o anche l'altro).

 

Da un lato abbiamo quindi gli elementi di A che non appartengono a B; ad essi vanno uniti gli elementi di B che non appartengono ad A.

 

In modo equivalente possiamo dire: gli elementi che appartengono ad A oppure a B e tali da non appartenere all'intersezione tra A e B.

 

Per quanto tutte queste formulazioni possano apparire difficili (e a tratti scioglilingua ;) ), con le operazioni insiemistiche è tutto più semplice:

 

A\ \Delta\ B=(A\cup B)-(A\cap B)

 

ossia differenza simmetrica = unione meno intersezione.

 

Differenza simmetrica con i diagrammi di Venn

 

Prima di vedere un esempio è meglio assicurarci di aver compreso la definizione, e al solito vengono in nostro aiuto i diagrammi di Venn (che ormai conosciamo sin dalla lezione Cos'è un insieme).

 

Dati due insiemi A,B\subseteq E, se supponiamo che l'intersezione A\cap B sia non vuota allora la differenza simmetrica A\ \Delta\ B si rappresenta nel modo seguente

 

 

Differenza simmetrica

Diagramma di Venn della differenza simmetrica tra insiemi non disgiunti.

 

 

dove la parte arancione di sinistra corrisponde ad A-B e la parte destra a B-A.

 

Se invece A,B fossero insiemi disgiunti, ossia con A\cap B=\emptyset, allora la differenza simmetrica si ridurrebbe banalmente alla loro unione.

 

 

Differenza simmetrica insiemi disgiunti

Diagramma di Venn della differenza simmetrica tra insiemi disgiunti.

 

 

Torneremo a parlare dei diagrammi di Venn, proponendone una panoramica generale, nella lezione successiva.

 

Esempio sulla differenza simmetrica

 

Consideriamo i seguenti sottoinsiemi A,B dell'insieme dei numeri naturali E=\mathbb{N}

 

A=\{1,2,3,4,5\}\\ \\B=\{4,5,6,7,8\}

 

Determiniamone la differenza simmetrica A\ \Delta\ B. Per farlo partiamo dalle reciproche differenze:

 

A-B=\{1,2,3,4,5\}-\{4,5,6,7,8\}=\{1,2,3\}\\ \\ B-A=\{4,5,6,7,8\}-\{1,2,3,4,5\}=\{6,7,8\}

 

La loro differenza simmetrica in forma estensiva è data da:

 

A\ \Delta\ B=(A-B)\cup(B-A)=\\ \\ =\{1,2,3\}\cup \{6,7,8\}=\{1,2,3,6,7,8\}

 

Da notare che giungiamo allo stesso risultato anche con la definizione equivalente ("unione meno intersezione"):

 

A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\cup \{4,5,6,7,8\}=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\\ \\ A\cap B=\{1,2,3,4,5\}\cap \{4,5,6,7,8\}=\{4,5\}

 

da cui

 

A\ \Delta\ B=(A\cup B)-(A\cap B)=\\ \\ =\{1,2,3,4,5,6,7,8\}-\{4,5\}=\{1,2,3,6,7,8\}

 

Proprietà della differenza simmetrica

 

Non ci resta che passare all'elenco delle proprietà della differenza simmetrica. Ne proponiamo una panoramica completa, a favore sia di chi affronta l'argomento per la prima volta, sia per chi è qui in fase di ripasso. A tal proposito includiamo alcune proprietà che coinvolgono argomenti non ancora trattati: sono quelle successive all'avviso "STOP!". Chi sta seguendo l'ordinamento delle nostre lezioni può saltarle e proseguire con la lezione successiva. ;)

 

Siano A,B,C\subseteq E tre insiemi. Allora...

 

 

1) Differenza simmetrica di un insieme con se stesso

 

La differenza simmetrica di un insieme con se stesso è l'insieme vuoto:

 

A\ \Delta\ A = \emptyset

 

 

2) Differenza simmetrica tra insiemi disgiunti

 

Se A \cap B=\emptyset, ossia se i due insiemi hanno intersezione vuota, allora la differenza simmetrica dei due insiemi coincide con l'unione degli stessi:

 

A\ \Delta\ B = A \cup B

 

 

3) Differenza simmetrica con l'insieme vuoto

 

La differenza simmetrica di un insieme con l'insieme vuoto è uguale all'insieme di partenza:

 

A\ \Delta\ \emptyset = A

 

 

4) Proprietà commutativa della differenza simmetrica

 

Come lascia intendere il nome stesso, la differenza simmetrica gode della proprietà commutativa. Scambiando l'ordine degli insiemi il risultato non cambia:

 

A\ \Delta\ B = B\ \Delta\ A

 

 

5) Proprietà associativa della differenza simmetrica

 

La differenza simmetrica gode della proprietà associativa:

 

(A\ \Delta\ B)\ \Delta\ C = A\ \Delta\ (B\ \Delta\ C)

 

 

6) Differenza simmetrica tra differenze simmetriche

 

Più facile da esprimere mediante simboli che a parole! ;)

 

(A\ \Delta\ B)\ \Delta\ (B\ \Delta\ C) = A\ \Delta\ C

 

 

7) Proprietà distributiva dell'intersezione rispetto alla differenza simmetrica

 

L'intersezione tra insiemi è una proprietà distributiva rispetto alla differenza simmetrica:

 

A \cap (B\ \Delta\ C) = (A \cap B)\ \Delta\ (A \cap C)

 

 

[STOP!]

 

 

8) Definizioni equivalenti della differenza simmetrica

 

Riprendiamo la definizione di differenza simmetrica come "unione meno intersezione"

 

A\ \Delta\ B=(A\cup B)-(A\cap B)=

 

Ricordando il legame tra differenza insiemistica e complementazione

 

=(A\cup B)\cap (A\cap B)^C=

 

e applicando la prima legge di De Morgan, ricaviamo

 

=(A\cup B)\cap (A^C\cup B^C)

 

Volendo fornire una rappresentazione intensiva di quest'ultima formulazione:

 

A\ \Delta\ B=\{x\in E\ |\ (\underbrace{x\in A}_{A}\ \underbrace{\vee}_{\cup}\ \underbrace{x\in B}_{B})\ \underbrace{\wedge}_{\cap}\ (\underbrace{x\notin A}_{A^C}\ \underbrace{\vee}_{\cup} \underbrace{x\notin B}_{B^C})\}

 

Ricapitolando, le definizioni equivalenti della differenza simmetrica sono date da:

 

A\ \Delta\ B=(A-B)\cup (B-A)\\ \\ A\ \Delta\ B=(A\cup B)-(A\cap B)\\ \\ A\ \Delta\ B=(A\cup B)\cap (A\cap B)^C\\ \\ A\ \Delta\ B=(A\cup B)\cap (A^C\cup B^C)

 

 


 

I più volenterosi possono provare a dimostrare le varie proprietà (l'ultima è gratis!); non è assolutamente difficile, soprattutto se si decide di farlo coi diagrammi di Eulero Venn. Per la cronaca, nella scheda correlata di esecizi risolti ne abbiamo dimostrata qualcuna... ;)

 

 

Gule gule, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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