Rappresentazione di insiemi per caratteristica o intensiva

La rappresentazione per caratteristica di un insieme, detta anche rappresentazione intensiva, è il secondo metodo per descrivere tutti gli elementi di un insieme. Rappresentare un insieme per caratteristica significa individuarne gli elementi indicando una o più caratteristiche comuni a tutti i suoi elementi.

 

Se ci troviamo a dover rappresentare un insieme con molti o addirittura infiniti elementi è evidente che la rappresentazione per elencazione (che abbiamo trattato nella precedente lezione) non è idonea per lo scopo. In certi casi risulterebbe scomoda, in altri sarebbe addirittura impraticabile: basti pensare agli insiemi infiniti.

 

In eventualità di questo tipo il modo più corretto di procedere è quello di utilizzare la rappresentazione per caratteristica, o rappresentazione intensiva degli insiemi. Nulla di difficile: si tratta di trovare una o più proprietà che caratterizzano in modo univoco l'insieme che vogliamo rappresentare.

 

Esempi sulla rappresentazione di insiemi per caratteristica

 

Quando si rappresenta un insieme per caratteristica è importante prestare attenzione a due aspetti:

 

- la caratteristica o proprietà deve individuare gli elementi dell'insieme in modo univoco e inequivocabile;

 

- la scrittura simbolica. Anche qui si utilizzano le parentesi graffe, come nelle rappresentazioni per elencazione, solo che dobbiamo dapprima indicare il nome di un generico elemento dell'insieme (una lettera a piacere) e successivamente specificare che il generico elemento deve soddisfare una o più specifiche proprietà.

 

 

1) Rappresentare per caratteristica l'insieme A dei fiumi d'Italia.

 

Facile, basta scrivere

 

A={x | x è un fiume d'Italia}

 

che si leggerà: "A è l'insieme degli elementi x tali che x è un fiume d'Italia".

 

Il simbolo matematico "|" si legge "tale che" e può essere sostituito, equivalentemente, con i due punti ":"

 

A={x : x è un fiume d'Italia}

 

 

2) La rappresentazione intensiva dell'insieme B dei multipli di 7 sarà:

 

B={x | x è un multiplo di 7}

 

Per chi è qui in fase di ripasso ed è già avanti con gli studi, facciamo notare che potremmo scegliere una scrittura puramente simbolica (chi è agli esordi può ignorare questo passaggio):

 

B=\{x\ |\ x=7k \mbox{ con } k\in\mathbb{Z}\}

 

 

3) L'insieme C dei numeri naturali compresi tra 12 e 784, estremi inclusi, si rappresenta per caratteristica nel modo seguente:

 

C={x | x è un numero naturale compreso tra 12 e 784}

 

In alternativa, con una scrittura puramente simbolica:

 

C=\{x\ | \ x \in \mathbb{N}, \ 12 \leq x \leq 784 \}

 

 

Attenzione alla caratteristica!

 

Se nel terzo esempio avessimo scritto

 

B={x | x è un numero compreso tra 12 e 784}

 

avremmo sbagliato. Tale rappresentazione infatti non descrive l'insieme che ci siamo proposti di rappresentare: avendo infatti dimenticato di specificare che x deve essere un numero naturale, leggendo la nostra ultima rappresentazione si potrebbero includere nell'insieme i numeri decimali 12,5 o 100,3, che sono pur sempre numeri compresi tra 12 e 784.

 

Attenzione quindi a non dimenticare di specificare tutte le caratteristiche che individuano gli elementi dell'insieme: è uno degli errori più comuni che si commettono nelle rappresentazioni intensive.

 

 


 

Nella prossima lezione ci concentreremo sugli insiemi finiti e in particolare sul conteggio dei loro elementi: parleremo della nozione di cardinalità.

 

Dubbi? problemi? Perplessità? Qui su YM c'è tutto quello che vi serve: esercizi svolti, lezioni, spiegazioni, esempi e approfondimenti. Potete trovare tutto con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su Youmath,

Giuseppe Carichino (Galois) 

 

Lezione precedente.....Esercizi correlati.....Lezione successiva

 
 

Tags: come si rappresenta un insieme per caratteristica - che cos'è la rappresentazione intensiva degli insiemi.