Solidi platonici (poliedri regolari)

I solidi platonici, detti anche poliedri regolari o poliedri platonici, sono poliedri con facce date da poligoni regolari e tali da essere tutte uguali tra loro. In tutto ci sono 5 tipi di solidi platonici: il tetraedro regolare, il cubo (o esaedro regolare), l'ottaedro regolare, il dodecaedro regolare e l'icosaedro regolare.

In questo formulario proponiamo la definizione di solido platonico, presentando tutti i tipi di poliedri regolari e le principali proprietà e formule che li caratterizzano. Li tratteremo poi nel dettaglio in cinque formulari a parte.

Questo particolare tipo di solidi riveste una grande importanza negli studi scolastici a partire dalle scuole medie fino ad arrivare alla seconda prova di Matematica. Ciò è dovuto al fatto che le perfette simmetrie, la loro ricorrenza in natura e le forme dei solidi platonici, così chiamati in onore di Platone, hanno da sempre ispirato l'Arte e la Filosofia.

Definizione di solido platonico

Partiamo dalla definizione. Diciamo poliedro platonico (o regolare) un qualsiasi poliedro convesso avente come facce dei poligoni regolari e tale da avere tutte le facce uguali tra loro.

In base alla definizione è facile intuire che, tra tutti i poliedri, i solidi platonici presentano il massimo grado possibile di simmetria: in un poliedro regolare tutti gli spigoli, gli angoli solidi e gli angoli diedrali sono congruenti tra loro.

Quanti sono i solidi platonici?

I solidi platonici sono 5 in tutto: il tetraedro regolare, il cubo (o esaedro regolare), l'ottaedro regolare, il dodecaedro regolare e l'icosaedro regolare.

Poliedro regolare	Figura	Numero di facce Tipo di poligono
Tetraedro (regolare)		4 facce Triangolo equilatero
Cubo (esaedro regolare)		6 facce Quadrato
Ottaedro (regolare)		8 facce Triangolo equilatero
Dodecaedro (regolare)		12 facce Pentagono regolare
Icosaedro (regolare)		20 facce Triangolo equilatero

Se vi state domandando perché i solidi platonici sono esattamente cinque, sappiate che questa affermazione può essere dimostrata in diversi modi.

Per dimostrare che esistono solo 5 tipi di poliedri regolari si può procedere con un approccio di tipo geometrico o algebrico:

- la dimostrazione algebrica si basa essenzialmente sulla relazione di Eulero tra facce, spigoli e vertici;

- il procedimento geometrico si basa su osservazioni relative agli angoloidi, ossia ai possibili angoli solidi che si vengono a formare in corrispondenza dei vertici.

Limitiamoci alla dimostrazione geometrica con gli angoloidi e procediamo per passi.

1) Ogni angoloide deve essere formato da almeno 3 facce.

2) La somma degli angoli di ciascuna faccia che convergono su un medesimo angoloide, intesi come angoli dei poligoni che costituiscono le facce, deve essere minore di un angolo giro.

3) Poiché i poligoni che formano un solido platonico devono essere regolari, gli angoli del punto 2) devono avere un'ampiezza inferiore a 360°:3=120°.

4) I poligoni regolari con più di 5 lati presentano angoli superiori o uguali a 120°, pertanto gli unici poligoni regolari che possono formare i solidi platonici sono il triangolo equilatero, il quadrato ed il pentagono regolare.

5) Ragioniamo caso per caso:

- se consideriamo il triangolo equilatero possiamo avere 3, 4 o 5 triangoli che insistono su uno stesso vertice, a cui corrisponde rispettivamente una somma di ampiezze pari a 180°, 240° e 300°. Da qui i poliedri regolari che ricaviamo sono il tetraedro regolare, l'ottaedro regolare e l'icosaedro regolare.

- Se consideriamo il quadrato possiamo avere solamente 3 quadrati che insistono sullo stesso vertice, a cui corrisponde una somma di ampiezze pari a 270°. Il solido platonico corrispondente è il cubo (esaedro regolare).

- Infine se consideriamo il pentagono regolare possiamo avere 3 pentagoni che insistono su uno stesso vertice, a cui corrisponde una somma di ampiezze pari a 324°. Il poliedro platonico corrispondente è il dodecaedro regolare.

Caratteristiche e proprietà dei solidi platonici

Qui di seguito riportiamo una tabella riepilogativa con le principali caratteristiche dei solidi platonici. Per brevità omettiamo l'aggettivo regolare sottintendendolo.

I solidi platonici soddisfano determinate proprietà oltre a quelle generali dei poliedri:

- ogni solido platonico possiede un centro, dal quale sono equidistanti sia i vertici che le facce.

- La distanza di un qualsiasi vertice dal centro si chiama raggio del poliedro regolare.

- Ad eccezione del tetraedro, le facce opposte sono a due a due parallele come lo sono anche gli spigoli: per questo motivo si parla di facce opposte, spigoli opposti e vertici opposti.

- Ogni poliedro platonico ammette una sfera inscritta e una circoscritta.

Formule dei solidi platonici

Per quanto riguarda le formule dei solidi platonici, come abbiamo già anticipato avremo modo di trattarle nel dettaglio nei vari formulari dedicati a ciascuno dei 5 tipi di poliedri regolari.

Qui riportiamo una tabella riepilogativa utile per il confronto tra le varie formule. Riguardo ai simboli indica la misura dello spigolo, il volume e l'area della superficie totale.

Formule per la misura del raggio della sfera inscritta, circoscritta e tangente agli spigoli

Esercizi e problemi svolti sui solidi platonici

Lo sapete che abbiamo svolto molti problemi sui solidi platonici? Sono tutti a portata di click e li potete trovare con la barra di ricerca interna. ;)

Tchau, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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Ultima modifica: 17/04/2023