Solidi platonici (poliedri regolari)

I solidi platonici, detti anche poliedri regolari o poliedri platonici, sono poliedri con facce date da poligoni regolari e tali da essere tutte uguali tra loro. In tutto ci sono 5 tipi di solidi platonici: il tetraedro regolare, il cubo (o esaedro regolare), l'ottaedro regolare, il dodecaedro regolare e l'icosaedro regolare.

In questo formulario proponiamo la definizione di solido platonico, presentando tutti i tipi di poliedri regolari e le principali proprietà e formule che li caratterizzano. Li tratteremo poi nel dettaglio in cinque formulari a parte.

Questo particolare tipo di solidi riveste una grande importanza negli studi scolastici a partire dalle scuole medie fino ad arrivare alla seconda prova di Matematica. Ciò è dovuto al fatto che le perfette simmetrie, la loro ricorrenza in natura e le forme dei solidi platonici, così chiamati in onore di Platone, hanno da sempre ispirato l'Arte e la Filosofia.

Definizione di solido platonico

Partiamo dalla definizione. Diciamo poliedro platonico (o regolare) un qualsiasi poliedro convesso avente come facce dei poligoni regolari e tale da avere tutte le facce uguali tra loro.

In base alla definizione è facile intuire che, tra tutti i poliedri, i solidi platonici presentano il massimo grado possibile di simmetria: in un poliedro regolare tutti gli spigoli, gli angoli solidi e gli angoli diedrali sono congruenti tra loro.

Quanti sono i solidi platonici?

I solidi platonici sono 5 in tutto: il tetraedro regolare, il cubo (o esaedro regolare), l'ottaedro regolare, il dodecaedro regolare e l'icosaedro regolare.

Poliedro regolare

Figura

Numero di facce

Tipo di poligono

Tetraedro (regolare)

Tetraedro regolare

4 facce

Triangolo equilatero

Cubo (esaedro regolare)

Cubo

6 facce

Quadrato

Ottaedro (regolare)

Ottaedro regolare

8 facce

Triangolo equilatero

Dodecaedro (regolare)

Dodecaedro regolare

12 facce

Pentagono regolare

Icosaedro (regolare)

Icosaedro regolare

20 facce

Triangolo equilatero

Se vi state domandando perché i solidi platonici sono esattamente cinque, sappiate che questa affermazione può essere dimostrata in diversi modi.

Per dimostrare che esistono solo 5 tipi di poliedri regolari si può procedere con un approccio di tipo geometrico o algebrico:

- la dimostrazione algebrica si basa essenzialmente sulla relazione di Eulero tra facce, spigoli e vertici;

- il procedimento geometrico si basa su osservazioni relative agli angoloidi, ossia ai possibili angoli solidi che si vengono a formare in corrispondenza dei vertici.

Limitiamoci alla dimostrazione geometrica con gli angoloidi e procediamo per passi.

1) Ogni angoloide deve essere formato da almeno 3 facce.

2) La somma degli angoli di ciascuna faccia che convergono su un medesimo angoloide, intesi come angoli dei poligoni che costituiscono le facce, deve essere minore di un angolo giro.

3) Poiché i poligoni che formano un solido platonico devono essere regolari, gli angoli del punto 2) devono avere un'ampiezza inferiore a 360°:3=120°.

4) I poligoni regolari con più di 5 lati presentano angoli superiori o uguali a 120°, pertanto gli unici poligoni regolari che possono formare i solidi platonici sono il triangolo equilatero, il quadrato ed il pentagono regolare.

5) Ragioniamo caso per caso:

- se consideriamo il triangolo equilatero possiamo avere 3, 4 o 5 triangoli che insistono su uno stesso vertice, a cui corrisponde rispettivamente una somma di ampiezze pari a 180°, 240° e 300°. Da qui i poliedri regolari che ricaviamo sono il tetraedro regolare, l'ottaedro regolare e l'icosaedro regolare.

- Se consideriamo il quadrato possiamo avere solamente 3 quadrati che insistono sullo stesso vertice, a cui corrisponde una somma di ampiezze pari a 270°. Il solido platonico corrispondente è il cubo (esaedro regolare).

- Infine se consideriamo il pentagono regolare possiamo avere 3 pentagoni che insistono su uno stesso vertice, a cui corrisponde una somma di ampiezze pari a 324°. Il poliedro platonico corrispondente è il dodecaedro regolare.

Caratteristiche e proprietà dei solidi platonici

Qui di seguito riportiamo una tabella riepilogativa con le principali caratteristiche dei solidi platonici. Per brevità omettiamo l'aggettivo regolare sottintendendolo.

Poliedro regolare

Facce

Vertici

Spigoli

Poligono regolare

Spigoli in un vertice

Angoli diedri

Tetraedro

4

4

6

Triangolo equilatero

3

70° 32'

Cubo

(Esaedro)

6

8

12

Quadrato

3

90°

Ottaedro

8

6

12

Triangolo equilatero

4

~109.47122°

Dodecaedro

12

20

30

Pentagono

3

~116,55°

Icosaedro

20

12

30

Triangolo equilatero

5

~138.19°

I solidi platonici soddisfano determinate proprietà oltre a quelle generali dei poliedri:

- ogni solido platonico possiede un centro, dal quale sono equidistanti sia i vertici che le facce.

- La distanza di un qualsiasi vertice dal centro si chiama raggio del poliedro regolare.

- Ad eccezione del tetraedro, le facce opposte sono a due a due parallele come lo sono anche gli spigoli: per questo motivo si parla di facce opposte, spigoli opposti e vertici opposti.

- Ogni poliedro platonico ammette una sfera inscritta e una circoscritta.

Formule dei solidi platonici

Per quanto riguarda le formule dei solidi platonici, come abbiamo già anticipato avremo modo di trattarle nel dettaglio nei vari formulari dedicati a ciascuno dei 5 tipi di poliedri regolari.

Qui riportiamo una tabella riepilogativa utile per il confronto tra le varie formule. Riguardo ai simboli L indica la misura dello spigolo, V il volume e S_(tot) l'area della superficie totale.

Poliedro regolare

Volume

Superficie totale

Tetraedro

V = L^3·(√(2))/(12)

S_(tot) = L^2·√(3)

Cubo

(Esaedro)

V = L^3

S_(tot) = L^2·6

Ottaedro

V = L^3·(√(2))/(3)

S_(tot) = L^2·2√(3)

Dodecaedro

V = L^3·(15+7√(5))/(4)

S_(tot) = L^2·15√((5+2√(5))/(5))

Icosaedro

V = L^3·(5(3+√(5)))/(12)

S_(tot) = L^2·5√(3)

Formule per la misura del raggio della sfera inscritta, circoscritta e tangente agli spigoli

Poliedro regolare

Inscritta

Circoscritta

Tangente
agli spigoli

Tetraedro

L·(√(6))/(12)

L·(√(6))/(4)

L·(√(2))/(4)

Cubo

(Esaedro)

(L)/(2)

L·(√(3))/(2)

L·(√(2))/(2)

Ottaedro

L·(√(6))/(6)

L·(√(2))/(2)

(L)/(2)

Dodecaedro

(L)/(2)√((25+11√(5))/(10))

L·(√(3)(1+√(5)))/(4)

L·(1)/(4)(3+√(5))

Icosaedro

L·(√(3))/(12)(3+√(5))

L·(√(10+2√(5)))/(4)

L·(1+√(5))/(4)

Esercizi e problemi svolti sui solidi platonici

Lo sapete che abbiamo svolto molti problemi sui solidi platonici? Sono tutti a portata di click e li potete trovare con la barra di ricerca interna. ;)

Tchau, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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