Solidi platonici (poliedri regolari)
I solidi platonici, detti anche poliedri regolari o poliedri platonici, sono poliedri con facce date da poligoni regolari e tali da essere tutte uguali tra loro. In tutto ci sono 5 tipi di solidi platonici: il tetraedro regolare, il cubo (o esaedro regolare), l'ottaedro regolare, il dodecaedro regolare e l'icosaedro regolare.
In questo formulario proponiamo la definizione di solido platonico, presentando tutti i tipi di poliedri regolari e le principali proprietà e formule che li caratterizzano. Li tratteremo poi nel dettaglio in cinque formulari a parte.
Questo particolare tipo di solidi riveste una grande importanza negli studi scolastici a partire dalle scuole medie fino ad arrivare alla seconda prova di Matematica. Ciò è dovuto al fatto che le perfette simmetrie, la loro ricorrenza in natura e le forme dei solidi platonici, così chiamati in onore di Platone, hanno da sempre ispirato l'Arte e la Filosofia.
Definizione di solido platonico
Partiamo dalla definizione. Diciamo poliedro platonico (o regolare) un qualsiasi poliedro convesso avente come facce dei poligoni regolari e tale da avere tutte le facce uguali tra loro.
In base alla definizione è facile intuire che, tra tutti i poliedri, i solidi platonici presentano il massimo grado possibile di simmetria: in un poliedro regolare tutti gli spigoli, gli angoli solidi e gli angoli diedrali sono congruenti tra loro.
Quanti sono i solidi platonici?
I solidi platonici sono 5 in tutto: il tetraedro regolare, il cubo (o esaedro regolare), l'ottaedro regolare, il dodecaedro regolare e l'icosaedro regolare.
Poliedro regolare | Figura | Numero di facce Tipo di poligono |
Tetraedro (regolare) | ![]() | 4 facce |
Cubo (esaedro regolare) | ![]() | 6 facce |
Ottaedro (regolare) | ![]() | 8 facce Triangolo equilatero |
Dodecaedro (regolare) | ![]() | 12 facce |
Icosaedro (regolare) | ![]() | 20 facce Triangolo equilatero |
Se vi state domandando perché i solidi platonici sono esattamente cinque, sappiate che questa affermazione può essere dimostrata in diversi modi.
Per dimostrare che esistono solo 5 tipi di poliedri regolari si può procedere con un approccio di tipo geometrico o algebrico:
- la dimostrazione algebrica si basa essenzialmente sulla relazione di Eulero tra facce, spigoli e vertici;
- il procedimento geometrico si basa su osservazioni relative agli angoloidi, ossia ai possibili angoli solidi che si vengono a formare in corrispondenza dei vertici.
Limitiamoci alla dimostrazione geometrica con gli angoloidi e procediamo per passi.
1) Ogni angoloide deve essere formato da almeno 3 facce.
2) La somma degli angoli di ciascuna faccia che convergono su un medesimo angoloide, intesi come angoli dei poligoni che costituiscono le facce, deve essere minore di un angolo giro.
3) Poiché i poligoni che formano un solido platonico devono essere regolari, gli angoli del punto 2) devono avere un'ampiezza inferiore a 360°:3=120°.
4) I poligoni regolari con più di 5 lati presentano angoli superiori o uguali a 120°, pertanto gli unici poligoni regolari che possono formare i solidi platonici sono il triangolo equilatero, il quadrato ed il pentagono regolare.
5) Ragioniamo caso per caso:
- se consideriamo il triangolo equilatero possiamo avere 3, 4 o 5 triangoli che insistono su uno stesso vertice, a cui corrisponde rispettivamente una somma di ampiezze pari a 180°, 240° e 300°. Da qui i poliedri regolari che ricaviamo sono il tetraedro regolare, l'ottaedro regolare e l'icosaedro regolare.
- Se consideriamo il quadrato possiamo avere solamente 3 quadrati che insistono sullo stesso vertice, a cui corrisponde una somma di ampiezze pari a 270°. Il solido platonico corrispondente è il cubo (esaedro regolare).
- Infine se consideriamo il pentagono regolare possiamo avere 3 pentagoni che insistono su uno stesso vertice, a cui corrisponde una somma di ampiezze pari a 324°. Il poliedro platonico corrispondente è il dodecaedro regolare.
Caratteristiche e proprietà dei solidi platonici
Qui di seguito riportiamo una tabella riepilogativa con le principali caratteristiche dei solidi platonici. Per brevità omettiamo l'aggettivo regolare sottintendendolo.
Poliedro regolare | Facce | Vertici | Spigoli | Poligono regolare | Spigoli in un vertice | Angoli diedri |
Tetraedro | 4 | 4 | 6 | Triangolo equilatero | 3 | 70° 32' |
Cubo (Esaedro) | 6 | 8 | 12 | Quadrato | 3 | 90° |
Ottaedro | 8 | 6 | 12 | Triangolo equilatero | 4 | ~109.47122° |
Dodecaedro | 12 | 20 | 30 | Pentagono | 3 | ~116,55° |
Icosaedro | 20 | 12 | 30 | Triangolo equilatero | 5 | ~138.19° |
I solidi platonici soddisfano determinate proprietà oltre a quelle generali dei poliedri:
- ogni solido platonico possiede un centro, dal quale sono equidistanti sia i vertici che le facce.
- La distanza di un qualsiasi vertice dal centro si chiama raggio del poliedro regolare.
- Ad eccezione del tetraedro, le facce opposte sono a due a due parallele come lo sono anche gli spigoli: per questo motivo si parla di facce opposte, spigoli opposti e vertici opposti.
- Ogni poliedro platonico ammette una sfera inscritta e una circoscritta.
Formule dei solidi platonici
Per quanto riguarda le formule dei solidi platonici, come abbiamo già anticipato avremo modo di trattarle nel dettaglio nei vari formulari dedicati a ciascuno dei 5 tipi di poliedri regolari.
Qui riportiamo una tabella riepilogativa utile per il confronto tra le varie formule. Riguardo ai simboli indica la misura dello spigolo,
il volume e
l'area della superficie totale.
Poliedro regolare | Volume | Superficie totale |
Tetraedro | ||
Cubo (Esaedro) | ||
Ottaedro | ||
Dodecaedro | ||
Icosaedro |
Formule per la misura del raggio della sfera inscritta, circoscritta e tangente agli spigoli
Poliedro regolare | Inscritta | Circoscritta | Tangente |
Tetraedro | |||
Cubo (Esaedro) | |||
Ottaedro | |||
Dodecaedro | |||
Icosaedro |
Esercizi e problemi svolti sui solidi platonici
Lo sapete che abbiamo svolto molti problemi sui solidi platonici? Sono tutti a portata di click e li potete trovare con la barra di ricerca interna. ;)
Tchau, see you soon guys!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)
Tags: tutte le formule, le definizioni e le proprietà sui poliedri regolari, con problemi ed esercizi svolti.
Ultima modifica: