Criteri di similitudine dei triangoli

I criteri di similitudine sono tre teoremi di Geometria (detti primo, secondo e terzo criterio di similitudine) che esprimono determinate condizioni affinché due triangoli siano simili tra loro.

Lo scopo di questa lezione è introdurre la nozione di similitudine tra triangoli, ossia la definizione di triangoli simili, e di enunciare i teoremi e le condizioni che garantiscono che due triangoli siano simili. Questi risultati prendono il nome di criteri di similitudine dei triangoli.

Per concludere mostreremo alcune proprietà che caratterizzano i triangoli simili e che ci permetteranno di risolvere sia gli esercizi di calcolo che i problemi dimostrativi, in cui partendo dalle ipotesi dobbiamo dimostrare la validità di una certa tesi.

Definizione di triangoli simili

Diciamo che due triangoli sono simili se hanno i tre angoli ordinatamente congruenti e i tre lati proporzionali tra loro.

Sulla prima condizione non c'è nulla da aggiungere. Per la seconda invece basta ricordare la definizione di grandezze proporzionali: la proporzionalità tra i lati significa che il rapporto tra le misure dei lati corrispondenti dei due triangoli è costante, e tale costante prende il nome di rapporto di similitudine.

Due triangoli simili: angoli congruenti e lati proporzionali.

Facendo riferimento alla figura possiamo riscrivere le condizioni di similitudine in simboli:

- angoli congruenti:

- lati proporzionali: .

I tre criteri di similitudine dei triangoli

Partiamo dagli enunciati e poi passiamo ad analizzarli separatamente. I tre criteri di similitudine dei triangoli stabiliscono che:

1) due triangoli sono simili se hanno i tre angoli rispettivamente congruenti;

2) due triangoli sono simili se hanno una coppia di lati proporzionali e l'angolo compreso congruente;

3) due triangoli sono simili se hanno tutti e tre i lati ordinatamente proporzionali.

Primo criterio di similitudine: due triangoli sono simili se hanno i tre angoli rispettivamente congruenti.

Se vogliamo riscrivere il primo criterio evidenziando le ipotesi e la tesi, ci basta leggere l'enunciato e fare riferimento alla definizione di triangoli simili:

Da notare che il solo confronto tra le ampiezze degli angoli ci permette di dedurre la condizione di proporzionalità tra le misure dei lati. Se poi il rapporto di similitudine (il valore costante dei rapporti) è uguale a 1, allora i due triangoli sono anche congruenti e non solo simili.

Osserviamo che il primo criterio di similitudine può essere espresso in una formulazione equivalente: due triangoli sono simili se hanno due angoli rispettivamente congruenti.

In tale ipotesi la congruenza del terzo angolo discende direttamente da una nota proprietà dei triangoli, secondo cui la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi è pari a 180°:

Da qui si vede che se e , allora risulta necessariamente .

Secondo criterio di similitudine dei triangoli: due triangoli sono simili se hanno una coppia di lati proporzionali e l'angolo compreso congruente.

In questo caso ci basta confrontare due lati e l'angolo compreso tra essi. L'enunciato scritto a parole potrebbe essere equivocabile, ma la sua corretta scrittura in simboli non lascia spazio a dubbi.

Terzo criterio di similitudine dei triangoli: due triangoli sono simili se hanno tutti e tre i lati ordinatamente proporzionali.

Quest'ultimo criterio è più interessante degli altri, perché ci permette di trarre delle conclusioni sulle ampiezze degli angoli a partire dal confronto delle misure dei lati.

Esempi sui criteri di similitudine

A) Consideriamo due triangoli e con le seguenti ipotesi:

Per il primo criterio di similitudine sappiamo che i due triangoli sono simili, perché hanno gli angoli ordinatamente congruenti. Di conseguenza i lati devono essere proporzionali tra loro.

A questo punto se conosciamo le misure di un lato di e del corrispondente lato di , ad esempio

allora sappiamo automaticamente in quale rapporto si trovano i restanti lati dei due triangoli:

ossia

In parole povere sappiamo che i lati del triangolo hanno misura doppia rispetto ai corrispondenti lati di .

B) Consideriamo due triangoli e , con

Il secondo criterio di similitudine ci permette di dire che i due triangoli sono simili, perché hanno due lati ordinatamente proporzionali e l'angolo tra essi compreso congruente. Infatti

Di conseguenza sappiamo che anche gli angoli devono essere congruenti

e conosciamo automaticamente il rapporto tra le misure dei lati

C) Consideriamo due triangoli con

Tali triangoli sono simili per il terzo criterio di similitudine, poiché hanno i tre lati ordinatamente proporzionali tra loro. Per vederlo è sufficiente calcolare i tre rapporti:

Da qui segue che gli angoli dei due triangoli devono essere ordinatamente congruenti:

Proprietà dei triangoli simili

La similitudine tra due o più triangoli implica alcune proprietà immediate, che derivano direttamente dalla definizione e di semplicissima dimostrazione (ve le lasciamo per esercizio). Si può provare abbastanza facilmente che, dati due triangoli simili :

P1) Il rapporto tra le altezze corrispondenti è uguale al rapporto tra i lati, ossia

P2) Il rapporto tra i perimetri è uguale al rapporto tra i lati, cioè

P3) Il rapporto tra le aree è uguale al quadrato del rapporto tra i lati, ossia

È tutto! Nella prossima lezione ci occuperemo dei criteri di congruenza. Non perdetevi la scheda correlata di esercizi svolti, e se non bastassero sappiate che qui su YM ci sono migliaia di problemi ed esercizi risolti. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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