Rette parallele tagliate da una trasversale

Due rette tagliate da una trasversale formano coppie di angoli che vengono individuate con nomi specifici: angoli alterni interni, angoli alterni esterni, angoli coniugati interni, angoli coniugati esterni e angoli corrispondenti.

Proseguiamo lo studio degli angoli e proponiamo ulteriori classificazioni. In questo caso prendiamo come riferimento una particolare configurazione: consideriamo due rette e una retta trasversale che le taglia.

Come vedremo tra un istante, se le due rette tagliate da una trasversale sono parallele, allora gli angoli che esse formano godono di relazioni specifiche. Queste relazioni vengono descritte dal teorema delle rette parallele.

Viceversa, se due rette tagliate da una trasversale formano angoli che godono di particolari relazioni, allora devono essere parallele. Questo risultato teorico prende il nome di criterio di parallelismo.

Nell'ordine proporremo la classificazione degli angoli e gli enunciati dei due teoremi, che interessano tutti gli studenti a partire dalle scuole medie; concluderemo con le dimostrazioni, rivolte esclusivamente agli studenti delle superiori.

Angoli formati da due rette tagliate da una trasversale

Disegniamo due rette e tagliamole con una trasversale. Per quanto riguarda la classificazione delle coppie di angoli non è necessario che le due rette siano parallele: i nomi valgono indipendentemente dalla condizione di parallelismo.

Due rette tagliate da una trasversale.

La prima cosa da fare è imparare i nomi delle coppie di angoli che si vengono a formare quando due rette, non necessariamente parallele, vengono tagliate da una trasversale. Ci siamo ripetuti - è vero - ma è importante non fare confusione su questo punto.

Angoli formati da due rette tagliate da una trasversale.

- Angoli corrispondenti: sono gli angoli che si corrispondono, situati in posizioni analoghe: (a,a') ; (b,b') ; (c,c') ; (d,d')

- Angoli alterni interni: sono gli angoli che si alternano nella posizione rispetto alla trasversale e che sono interni rispetto alle due rette: (b,d') ; (c,a')

- Angoli alterni esterni: sono gli angoli che si alternano nella posizione rispetto alla trasversale e che sono esterni rispetto alle due rette: (a,c') ; (d,b')

- Angoli coniugati interni: sono gli angoli situati dalla stessa parte rispetto alla trasversale e che sono interni rispetto alle due rette: (b,a') ; (c,d')

- Angoli coniugati esterni: sono gli angoli situati dalla stessa parte rispetto alla trasversale e che sono esterni rispetto alle due rette: (d,c') ; (a,b').

Teorema delle rette parallele

Ora che conosciamo i nomi, supponiamo che le due rette tagliate da una trasversale siano parallele.

Nell'ipotesi di parallelismo che cosa possiamo dire riguardo agli angoli? Qual è la relazione che sussiste tra gli angoli corrispondenti, gli angoli alterni interni, gli angoli alterni esterni e gli angoli coniugati interni ed esterni? La risposta viene fornita da un enunciato molto importante.

Teorema delle rette parallele: in una coppia di rette parallele tagliate da una trasversale:

- gli angoli alterni interni sono congruenti;

- gli angoli alterni esterni sono congruenti;

- gli angoli corrispondenti sono congruenti;

- gli angoli coniugati interni sono supplementari;

- gli angoli coniugati esterni sono supplementari.

Criterio di parallelismo

Il teorema delle rette parallele stabilisce che due rette parallele tagliate da una trasversale formano coppie di angoli tra cui sussistono specifiche relazioni. Cosa possiamo dire riguardo al viceversa, ossia partendo dalle relazioni tra gli angoli senza supporre che le due rette siano parallele? Anche in questo caso vi è un enunciato che viene in nostro soccorso.

Criterio di parallelismo: se due rette tagliate da una trasversale formano due angoli alterni (interni o esterni) congruenti, oppure due angoli corrispondenti congruenti, oppure due angoli coniugati (interni o esterni) supplementari, allora le due rette sono parallele.

Dimostrazioni del teorema delle rette parallele e del criterio di parallelismo

Il teorema delle rette parallele e il criterio di parallelismo sono risultati fondamentali della Geometria Piana. Vengono proposti già alle scuole medie e approfonditi alle scuole superiori.

Alle scuole medie vengono dati per buoni e vengono usati per dimostrare svariate proprietà delle figure piane; alle superiori, invece, se ne possono affrontare le dimostrazioni perché si dispone di un bagaglio geometrico molto più ampio.

Questa premessa è per dire che gli studenti delle medie possono fermarsi qui con la lettura e passare alla lezione successiva. ;)

Per gli studenti delle superiori il discorso cambia. Il procedimento prevede di dimostrare dapprima il criterio di parallelismo e, successivamente, di usarlo per dimostrare il teorema delle rette parallele.

Dato che non vogliamo appesantire troppo la lezione, se siete alle superiori e siete qui per ripassare potete leggere la dimostrazione del criterio di parallelismo nell'approfondimento del link. La presentiamo in separata sede perché, a sua volta, richiede di conoscere il primo teorema dell'angolo esterno.

Qui di seguito ci limitiamo alla dimostrazione del teorema delle rette parallele: è un buon esercizio di ragionamento che richiede solo di conoscere i postulati di Euclide (in particolare il quinto) e il funzionamento delle dimostrazioni per assurdo.

Se disponete dei prerequisiti necessari potete procedere con la lettura; in caso contrario vi suggeriamo di fermarvi, leggere gli approfondimenti e poi ripartire da qui. ;)

Dimostrazione del teorema delle rette parallele

Siano due rette parallele tagliate dalla trasversale , come in figura. Proviamo che gli angoli alterni interni sono congruenti.

Rette parallele tagliate da una trasversale e angoli alterni interni.

Procediamo con una dimostrazione per assurdo: supponiamo che gli angoli non siano congruenti e che, ad esempio, l'ampiezza del primo sia maggiore di quella del secondo: .

Indichiamo con il punto di intersezione tra la retta e la trasversale .

Dal momento che , per il punto possiamo condurre una retta , distinta dalla retta , tale che l'angolo risulti congruente all'angolo .

Ragionamento per assurdo: gli angoli alterni interni non sono congruenti.

In questo modo le rette tagliate dalla trasversale formano una coppia di angoli alterni interni tra loro congruenti . Per il criterio di parallelismo tali rette devono essere parallele.

In questo modo però per il punto verrebbero a passare due rette distinte entrambe parallele alla retta , ma ciò contraddice il quinto postulato di Euclide, da cui l'assurdo.

Possiamo così concludere che gli angoli sono congruenti.

Lasciamo a voi il compito di dimostrare che rette parallele tagliate da una trasversale formano angoli corrispondenti congruenti, angoli alterni esterni congruenti ed angoli coniugati (interni ed esterni) supplementari. Si deve procedere sempre con una dimostrazione per assurdo, con logica del tutto analoga a quella appena vista.

Imparate le semplici relazioni che sussistono tra gli angoli formati da rette parallele e sarete già a metà dell'opera ;) e se doveste avere dubbi o difficoltà nella risoluzione degli esercizi, potrete sempre usare la barra di ricerca interna: avete a disposizione migliaia di problemi svolti e commentati nel dettaglio. ;)

Vi aspettiamo nella prossima lezione: inizieremo a studiare le figure piane, a partire dal quadrato. :)

Adjö, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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Ultima modifica: 22/09/2023