Rette parallele tagliate da una trasversale

Due rette parallele tagliate da una trasversale formano coppie di angoli che godono di particolari relazioni tra loro, e che assumono nomi specifici. Una trasversale nel tagliare due rette parallele individua angoli alterni interni, alterni esterni, coniugati interni, coniugati esterni e corrispondenti.

Amiche e amici, l'argomento che trattiamo in questo articolo è un classico del biennio delle scuole superiori: parliamo delle relazioni che sussistono tra gli angoli formati da rette parallele tagliate da una trasversale.

Si tratta di una lezione importantissima, perché conoscendo a menadito il legame tra le coppie di angoli costruiti con due rette parallele e tagliate da una trasversale, potrete cavarvela in moltissimi esercizi sulle dimostrazioni. In pratica, in tutti quei problemi del liceo in cui si deve dimostrare una qualche proprietà, o comunque una tesi, a partire dalle ipotesi assegnate.

Cosa sono due rette parallele tagliate da una trasversale

Niente di più e niente di meno rispetto a quel che viene suggerito dal nome stesso. Disegniamo due rette parallele, e tagliamole con una trasversale

Rette parallele tagliate da una trasversale

La prima cosa da fare è imparare i nomi delle particolari coppie di angoli che si vengono a formare quando due rette parallele vengono tagliate da una trasversale. Attenzione ai nomi, che non sono scelti a caso... ;)

Coppie di angoli formati da rette parallele tagliate da una trasversale

Angoli corrispondenti: (a,a') ; (b,b') ; (c,c') ; (d,d')

Angoli alterni interni: (b,d') ; (c,a')

Angoli alterni esterni: (a,c') ; (d,b')

Angoli coniugati interni: (b,a') ; (c,d')

Angoli coniugati esterni: (d,c') ; (a,b').

Angoli formati da rette parallele tagliate da una trasversale

Quali relazioni sussistono tra gli angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale? E qual è il legame che sussiste tra gli angoli corrispondenti, gli angoli alterni interni, gli angoli alterni esterni e gli angoli coniugati interni ed esterni?

Vale il seguente teorema delle rette parallele, che tra poco dimostreremo: in una coppia di rette parallele tagliate da una trasversale

- gli angoli alterni interni sono congruenti;

- gli angoli alterni esterni sono congruenti;

- gli angoli corrispondenti sono congruenti;

- gli angoli coniugati interni sono supplementari;

- gli angoli coniugati esterni sono supplementari.

Dimostrazione del teorema sulle rette parallele

La dimostrazione dei risultati relativi agli angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale è facoltativa.

Siano due rette parallele tagliate dalla trasversale ; dimostriamo che gli angoli alterni interni $\widehat{c},\widehat{a'}$ formati da tali rette sono angoli congruenti.

Dimostrazione teorema rette parallele

Procediamo con una dimostrazione per assurdo: supponiamo che gli angoli $\widehat{c},\widehat{a'}$ non siano congruenti e sia, ad esempio, $\widehat{c}>\widehat{a'}$ .

Indichiamo con il punto di intersezione tra la retta e la trasversale .

Dal momento che $\widehat{c} > \widehat {a'}$ , per il punto A possiamo condurre una retta , distinta dalla retta , tale che l'angolo $\widehat{e}$ risulti congruente all'angolo $\widehat{a'}$ .

Dimostrazione per assurdo teorema rette parallele

In tal modo le rette $u \mbox{ ed } s$ tagliate dalla trasversale formano una coppia di angoli alterni interni tra loro congruenti $\left( \widehat{e}=\widehat{a'} \right)$ ; allora per il criterio di parallelismo tali rette sono parallele.

Per cui per il punto verrebbero a passare due rette distinte $r \mbox{ ed } u$ entrambe parallele alla retta , ma ciò contraddice il quinto postulato di Euclide.

Possiamo così concludere che gli angoli $\widehat{c} \mbox{ ed } a'$ sono congruenti.

Lasciamo a voi il compito di dimostrare che rette parallele tagliate da una trasversale formano angoli corrispondenti congruenti, angoli alterni esterni congruenti ed angoli coniugati (interni ed esterni) supplementari. Si dovrà procedere sempre ad una dimostrazione per assurdo seguendo lo stile di quella proposta poc'anzi.

Imparate le semplici relazioni che sussistono tra gli angoli formati da rette parallele e sarete già a metà dell'opera ;) e se doveste avere dubbi o difficoltà nella risoluzione degli esercizi, potrete sempre usare la barra di ricerca interna: avete a disposizione migliaia di problemi svolti e commentati nel dettaglio. ;)

Adjö, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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