Teoremi di Euclide

I teoremi di Euclide sono due risultati che mettono in relazione le misure dei cateti, dell'ipotenusa e dell'altezza di un triangolo rettangolo con le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa:

- il primo teorema di Euclide stabilisce che in un triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa;

- il secondo teorema di Euclide stabilisce che in un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è il medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

Tra i matematici che hanno contribuito allo sviluppo della Geometria piana, nella Grecia Antica, Euclide occupa un posto di assoluto rilievo. In questa lezione studiamo in dettaglio il primo e il secondo teorema di Euclide, relativi ai triangoli rettangoli, e vediamo come usare le relative formule nella risoluzione dei problemi.

In entrambi i casi proponiamo due enunciati equivalenti, di cui uno in termini geometrici e l'altro sotto forma di proporzioni.

Premessa per i teoremi di Euclide: le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa

Prima di tutto dobbiamo comprendere cosa si intende con proiezione di un cateto sull'ipotenusa.

Consideriamo un triangolo rettangolo retto in , tracciamo l'altezza relativa all'ipotenusa e chiamiamo il suo piede, ossia il punto in cui l'altezza incontra l'ipotenusa.

Il piede dell'altezza divide l'ipotenusa in due segmenti, non necessariamente congruenti, che chiameremo e

- è la proiezione del cateto sull'ipotenusa;

- è la proiezione del cateto sull'ipotenusa.

Naturalmente la somma delle misure delle proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa è uguale alla misura dell'ipotenusa:

Primo teorema di Euclide

Primo teorema di Euclide: in un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha come dimensioni l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa.

Questo enunciato mette in relazione tre elementi del triangolo rettangolo: l'ipotenusa, un cateto e la sua proiezione sull'ipotenusa.

Primo teorema di Euclide riferito al cateto AB.

In riferimento alla figura possiamo estrapolare una formula del primo teorema di Euclide:

Osserviamo che è l'area del quadrato costruito sul cateto minore, mentre è l'area del rettangolo che ha come dimensioni la proiezione e l'ipotenusa .

In modo del tutto naturale possiamo scrivere la formula riferita al cateto maggiore e alla proiezione .

Primo teorema di Euclide riferito al cateto AC.

Seguendo l'enunciato del primo teorema di Euclide, risulta:

Ragioniamo come in precedenza: è l'area del quadrato costruito sul cateto maggiore, mentre è l'area del rettangolo che ha come dimensioni la proiezione e l'ipotenusa .

Il primo teorema di Euclide ammette inoltre una formulazione equivalente che viene espressa nel linguaggio delle proporzioni: in un triangolo rettangolo ciascun cateto è il medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa.

In formule ciò si traduce nelle seguenti proporzioni:

Esempio sul primo teorema di Euclide

Calcolare il perimetro di un triangolo rettangolo , retto in , la cui ipotenusa misura 10 centimetri e in cui la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa misura 3,6 centimetri.

Svolgimento: sappiamo che l'ipotenusa misura 10 cm e che la proiezione del cateto minore è di 3,6 cm. Scriviamo i dati:

Il primo teorema di Euclide ci permette calcolare la misura del cateto minore mediante la proporzione

A questo punto possiamo calcolare la lunghezza del cateto usando la proprietà fondamentale delle proporzioni (prodotto dei medi = prodotto degli estremi):

Estraiamo la radice quadrata e svolgiamo i calcoli (omettiamo l'unità di misura per comodità e indichiamola solamente alla fine)

Il cateto minore misura quindi 6 cm.

La proiezione relativa al cateto maggiore si può ricavare come differenza tra ipotenusa e proiezione del cateto minore:

Utilizziamo nuovamente il primo teorema di Euclide per calcolare la misura del cateto maggiore

da cui, con calcoli analoghi ai precedenti

Il cateto maggiore misura quindi 8 cm

e abbiamo tutto quel che ci serve per calcolare il perimetro:

Vi facciamo notare che, dopo aver determinato la misura del cateto minore con il primo teorema di Euclide, avremmo potuto calcolare la misura del cateto maggiore con il teorema di Pitagora.

Secondo teorema di Euclide

Secondo teorema di Euclide: in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha come dimensioni le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

Secondo teorema di Euclide.

Il secondo teorema di Euclide fornisce una relazione tra l'altezza relativa all'ipotenusa e le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. Con riferimento alla figura possiamo scrivere:

Come nel caso del primo teorema possiamo esprimere anche il secondo mediante una proporzione: in un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è il medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa

Esempio sul secondo teorema di Euclide

Vediamo un esempio sul secondo teorema di Euclide. Di un triangolo rettangolo conosciamo le misure delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa, rispettivamente uguali a 36 cm e a 64 cm. Calcolare l'altezza relativa all'ipotenusa.

Svolgimento: se ci atteniamo alle lettere della precedente figura possiamo esprimere i dati come

in quanto a cateto maggiore corrisponde proiezione maggiore. Ora è sufficiente impostare la proporzione per trovare la misura dell'altezza:

Usiamo la proprietà fondamentale delle proporzioni (prodotto dei medi = prodotto degli estremi):

Estraiamo la radice quadrata e procediamo con i calcoli. Anche qui per comodità indichiamo l'unità di misura solo sul risultato

e concludiamo che l'altezza misura 48 cm.

Abbiamo concluso! Nella lezione successiva parleremo di altezza, mediana, bisettrice e asse; nel frattempo date un'occhiata alla scheda di esercizi svolti, e se ancora non bastassero ricordate che qui su YM potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

Bună, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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Ultima modifica: 23/09/2023