Trapezio, trapezio rettangolo, trapezio isoscele

Il trapezio è un quadrilatero convesso con due lati paralleli, detti basi, e due lati obliqui. Un trapezio rettangolo è un trapezio con un lato obliquo perpendicolare alle basi. Un trapezio isoscele è un trapezio con i lati obliqui congruenti e con gli angoli adiacenti alle basi rispettivamente congruenti.

Fin dalla scuola media si affrontano tanti problemi ed esercizi che coinvolgono il trapezio, per poi proseguire alle scuole superiori. Il quadrilatero di cui parliamo in questo formulario è estremamente importante e vi accompagnerà nel corso della vostra intera carriera scolastica, quindi armatevi di pazienza e concentrazione.

Qui di seguito trovate tutto quello che c'è da sapere: oltre alla definizione di trapezio analizzeremo le definizioni di trapezio isoscele e di trapezio rettangolo, spiegandone le proprietà ed elencando tutte le principali formule.

Per completezza scriveremo le varie formule inverse per area e perimetro del trapezio e proporremo una classificazione dettagliata dell'insieme dei trapezi. Vi anticipiamo inoltre che nel formulario successivo studieremo in dettaglio il trapezio scaleno.

Trapezio

Cominciamo con la definizione di trapezio: un trapezio è un quadrilatero convesso con due lati paralleli che vengono chiamati basi, mentre gli altri due lati vengono detti lati obliqui. In modo equivalente un trapezio è un poligono convesso con 4 lati di cui due paralleli tra loro.

Ricordiamo che con l'aggettivo convesso si intende "che non contiene alcun prolungamento dei suoi lati" (e che i lati non si intrecciano tra loro).

Un trapezio.

Trapezio rettangolo

Per definizione un trapezio rettangolo è un trapezio in cui un lato obliquo è perpendicolare alle basi, dunque può essere anche definito come un trapezio in cui gli angoli adiacenti a un lato obliquo misurano 90°.

Un trapezio rettangolo.

Trapezio isoscele

Per definizione un trapezio isoscele è un trapezio in cui i lati obliqui sono congruenti e in cui gli angoli adiacenti alle basi sono rispettivamente congruenti.

Attenzione a non sottovalutare l'ipotesi sugli angoli adiacenti alle basi.

Un trapezio isoscele.

Formule del trapezio

Ora occupiamoci delle formule del trapezio. Partendo dal caso generale passiamo successivamente alle formule del trapezio rettangolo e alle formule del trapezio isoscele, casi in cui le formule generali per area e perimetro continuano ovviamente a valere.

Riguardo ai nomi chiamiamo la base maggiore, la base minore, l'altezza, ed i lati obliqui, il perimetro e l'area del trapezio.

Indichiamo inoltre con la comune lunghezza dei lati obliqui nel trapezio isoscele, nonché la lunghezza del lato obliquo non perpendicolare del trapezio rettangolo, e infine e rispettivamente la diagonale minore e la diagonale maggiore del trapezio rettangolo.

Nella tabella evidenziamo in grassetto le formule più importanti; tutte le altre formule sono inverse e possono essere ricavate con passaggi algebrici immediati.

Proprietà del trapezio

- In un trapezio vi sono due lati opposti paralleli.

- Gli angoli adiacenti ai lati obliqui sono angoli supplementari. In particolare, un quadrilatero è un trapezio se e solo se due dei suoi angoli interni adiacenti a un lato sono supplementari.

Tale proprietà caratterizza qualsiasi trapezio e discende dal teorema sulle rette parallele tagliate da una trasversale. I due angoli adiacenti a un lato obliquo sono infatti angoli coniugati interni rispetto ai lati paralleli (le due basi) tagliate da una trasversale (il lato obliquo).

- La somma degli angoli interni di un trapezio è uguale a un angolo giro.

- Le diagonali di un trapezio si tagliano in segmenti corrispondenti proporzionali. Dette esse e detto il loro punto di intersezione, risulta

Proprietà del trapezio rettangolo

- Uno dei lati obliqui è perpendicolare alle basi e forma con esse angoli di 90°.

Proprietà del trapezio isoscele

- I lati obliqui sono congruenti per definizione.

- Gli angoli adiacenti a una stessa base sono congruenti per definizione.

- Le diagonali sono congruenti.

- Un trapezio isoscele è simmetrico rispetto alla retta passante per i punti medi delle due basi.

- Il lato obliquo di un trapezio isoscele circoscritto a una semicirconferenza è congruente alla metà della base maggiore.

- Il lato obliquo di un trapezio isoscele circoscritto a una circonferenza è congruente alla semisomma delle basi.

- Nel caso in cui si consideri una circonferenza inscritta in un trapezio isoscele, valgono le seguenti formule ( indica il raggio)

Classificazione dei trapezi

Esistono diverse possibili classificazioni dei trapezi relative ai lati e agli angoli:

- in riferimento ai lati possiamo distinguere tra il trapezio isoscele, in cui i due lati obliqui sono congruenti (e gli angoli adiacenti alle rispettive basi sono congruenti), e il trapezio scaleno, in cui i due lati obliqui hanno lunghezze diverse tra loro.

- In riferimento agli angoli si considera solamente il caso notevole del trapezio rettangolo, in cui sono presenti due angoli retti formati da un lato obliquo perpendicolare alle basi.

È importante notare che le due classificazioni in base ai lati e agli angoli sono indipendenti l'una dall'altra. Possiamo ad esempio avere un trapezio scaleno rettangolo, oppure un trapezio isoscele rettangolo. A seconda delle possibili configurazioni geometriche nella famiglia dei trapezi vengono definiti particolari quadrilateri che ben conosciamo.

Prima però conviene disegnare un bel diagramma di Venn per l'insieme dei trapezi nell'insieme dei quadrilateri convessi.

Classificazione dei trapezi.

Ora, partendo dalle definizioni, è facile capire quali sono i particolari tipi di trapezi che già conosciamo. Scendiamo dal generale al particolare:

1) un parallelogramma è un trapezio con i lati a due a due paralleli (e quindi a due a due congruenti).

In generale un parallelogramma non è un trapezio isoscele, a meno che sia un rettangolo, perché questo è l'unico caso in cui gli angoli adiacenti alle rispettive basi sono congruenti (ecco perché nella definizione avevamo sottolineato l'importanza di questa condizione).

2) Un rombo è un parallelogramma con i quattro lati uguali, quindi è un trapezio con i lati a due a due paralleli e tutti congruenti tra loro.

In generale un rombo non è un trapezio isoscele, a meno che sia un quadrato, perché questo è l'unico caso in cui gli angoli adiacenti alle rispettive basi sono congruenti.

3) Un rettangolo è un parallelogramma con gli angoli interni ciascuno di 90°, dunque è un trapezio con i lati a due a due paralleli e con gli angoli interni ciascuno ampio 90°.

Ne deduciamo che un rettangolo è un trapezio rettangolo (perché è un trapezio con un lato obliquo perpendicolare alle basi) e che è anche un trapezio isoscele (perché ha i lati obliqui congruenti con angoli adiacenti alle rispettive basi congruenti). Il rettangolo è l'unico caso di trapezio isoscele rettangolo.

4) Un quadrato è un rombo con i quattro angoli interni congruenti (pari a 90°) ed è un rettangolo con i quattro lati congruenti.

Il quadrato è quindi un trapezio isoscele rettangolo (in quanto è un rettangolo) con i quattro lati congruenti (in quanto rombo).

Nota bene) attenzione perché, come potete notare dal precedente diagramma di Venn, ci sono trapezi che non sono parallelogrammi. Il precedente elenco non esaurisce tutti i possibili casi sui trapezi in generale, né sui trapezi rettangoli o isosceli in particolare; ci siamo semplicemente limitati a un'analisi dei quadrilateri notevoli, in riferimento alle definizioni di trapezio che abbiamo visto in questa lezione.

Problemi ed esercizi svolti sul trapezio

Lo sapete che su YM ci sono tantissimi esercizi sul trapezio? Più in generale tenete conto che lo Staff ha risolto migliaia e migliaia di esercizi, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna.

Ad esempio ci sono diversi approfondimenti sui principali elementi del trapezio, tra cui:

- perimetro del trapezio isoscele

- area del trapezio isoscele

- diagonale del trapezio isoscele

- perimetro del trapezio rettangolo

- area del trapezio rettangolo

- perimetro del trapezio scaleno

- area del trapezio scaleno

Tchau, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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Tags: tutte le formule sul trapezio - formule del trapezio rettangolo e del trapezio isoscele - proprietà del trapezio.