Dodecagono

Un dodecagono è un poligono con 12 lati e 12 vertici. Un dodecagono regolare è un particolare tipo di dodecagono, ed è un poligono regolare con 12 lati di uguale lunghezza e 12 angoli di uguale ampiezza, ciascuno pari a 150°.

In questa lezione potete leggere la definizione e tutte le formule sul dodecagono, con particolare riferimento al dodecagono regolare. Anticipiamo sin da subito che non ci sono particolari formule degne di nota nel caso generale e per questo motivo ci concentreremo sul caso regolare. Oltre alle formule inverse e dirette per calcolare l'apotema e l'area del dodecagono, abbiamo riportato le formule speciali per la circonferenza inscritta e per la circonferenza circoscritta al dodecagono regolare.

A seguire trovate tutte le principali proprietà. Attenzione: nel caso vi foste persi qualche definizione sui poligoni e sui poligoni regolari, vi raccomandiamo di leggere le lezioni correlate cui potete accedere velocemente mediante i link presenti nel corso della spiegazione. ;)

Definizione di dodecagono

Vediamo nel dettaglio la definizione di dodecagono e la definizione di dodecagono regolare:

- un dodecagono è un qualsiasi poligono costituito da 12 lati e 12 vertici, e può essere un poligono semplice o complesso, concavo o convesso;

- un dodecagono regolare è un poligono regolare con 12 lati, e dunque è un poligono convesso equilatero ed equiangolo.

Dodecagono

Dodecagono regolare

Formule dodecagono

Siamo pronti per passare all'elenco delle formule del dodecagono regolare dobbiamo assegnare un po' di nomi. Indicheremo con L il lato del dodecagono, con a l'apotema, con f il numero fisso, con φ la costante d'area, con R il raggio della circonferenza circoscritta, con 2p il perimetro, con p il semiperimetro p e con A l'area del dodecagono.

Dodecagono inscritto

Le formule in grassetto nella seguente tabella sono le uniche che vanno ricordate; tutte le altre formule inverse possono essere ricavate velocemente con dei semplici calcoli algebrici.

Perimetro del dodecagono (con il lato)
Lato (con il perimetro)	$L=\frac{2p}{12}$
Area del dodecagono (dato l'apotema)	$A=\frac{2p \times a}{2}$
Apotema (con area e perimetro)	$a=\frac{2A}{2p}$
Perimetro del dodecagono (con apotema)	$2p=\frac{2A}{a}$
Numero fisso del dodecagono	$f=1,866=\frac{a}{L}$
Apotema (con numero fisso e lato)	$a=L \times f$
Lato (dato l'apotema)	$L=\frac{a}{f}$
Costante d'area del dodecagono	$\varphi=11,196=\frac{A}{L^2}$
Area del dodecagono (dalla costante)	$A=L^2 \times \varphi$
Lato del dodecagono (dalla costante)	$L=\sqrt{\frac{A}{\varphi}}$
Dodecagono inscritto e circonferenza circoscritta
Lato del dodecagono (dal raggio)	$L=\frac{R(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}$
Apotema (dal raggio)	$a=\frac{R(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$
Area del dodecagono (dal raggio)

Proprietà del dodecagono regolare

1) Un dodecagono regolare si può sia inscrivere che circoscrivere ad una circonferenza.

2) Il numero delle diagonali di un dodecagono è pari a 54, e per ogni vertice passano 9 diagonali.

3) Le sei diagonali che si formano unendo due vertici diametralmente opposti (quelle in figura) si incontrano in uno stesso punto detto centro del dodecagono che le divide in segmenti congruenti ed è il centro sia della circonferenza inscritta sia di quella circoscritta al dodecagono.

4) Queste sei diagonali dividono il dodecagono in 12 triangoli isosceli aventi gli angoli alla base di 75° e l'angolo al vertice ampio 30°.

5) L'apotema del dodecagono (raggio della circonferenza inscritta) coincide con l'altezza dei triangoli isosceli in cui è diviso dalle diagonali.

6) La somma degli angoli interni del dodecagono è pari a 1800°.

7) La somma degli angoli esterni di un dodecagono è pari a 360°

8) Un dodecagono regolare ha 12 assi di simmetria: le 6 diagonali che si formano unendo i vertici diametralmente opposti ed i 6 segmenti che uniscono i punti medi di due lati opposti.

9) Il centro del dodecagono ne è il centro di simmetria.

Ribadiamo bene che quanto fin qui detto vale per i dodecagoni regolari. Non ci sono infatti formule specifiche che valgano per i dodecagoni qualsiasi.

Esercizi svolti sul dodecagono

Lo sapete che abbiamo svolto molti esercizi sul dodecagono? Per raggiungerli vi basta utilizzare la barra di ricerca interna. ;)

Buon proseguimento su YouMath!

Giuseppe Carichino (Galois)

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