Dodecagono
Un dodecagono è un poligono con 12 lati e 12 vertici. Un dodecagono regolare è un particolare tipo di dodecagono, ed è un poligono regolare con 12 lati di uguale lunghezza e 12 angoli di uguale ampiezza, ciascuno pari a 150°.
In questa lezione potete leggere la definizione e tutte le formule sul dodecagono, con particolare riferimento al dodecagono regolare. Anticipiamo sin da subito che non ci sono particolari formule degne di nota nel caso generale e per questo motivo ci concentreremo sul caso regolare. Oltre alle formule inverse e dirette per calcolare l'apotema e l'area del dodecagono, abbiamo riportato le formule speciali per la circonferenza inscritta e per la circonferenza circoscritta al dodecagono regolare.
A seguire trovate tutte le principali proprietà. Attenzione: nel caso vi foste persi qualche definizione sui poligoni e sui poligoni regolari, vi raccomandiamo di leggere le lezioni correlate cui potete accedere velocemente mediante i link presenti nel corso della spiegazione. ;)
Definizione di dodecagono
Vediamo nel dettaglio la definizione di dodecagono e la definizione di dodecagono regolare:
- un dodecagono è un qualsiasi poligono costituito da 12 lati e 12 vertici, e può essere un poligono semplice o complesso, concavo o convesso;
- un dodecagono regolare è un poligono regolare con 12 lati, e dunque è un poligono convesso equilatero ed equiangolo.
Dodecagono regolare
Formule dodecagono
Siamo pronti per passare all'elenco delle formule del dodecagono regolare dobbiamo assegnare un po' di nomi. Indicheremo con L il lato del dodecagono, con a l'apotema, con f il numero fisso, con φ la costante d'area, con R il raggio della circonferenza circoscritta, con 2p il perimetro, con p il semiperimetro p e con A l'area del dodecagono.
Le formule in grassetto nella seguente tabella sono le uniche che vanno ricordate; tutte le altre formule inverse possono essere ricavate velocemente con dei semplici calcoli algebrici.
Perimetro del dodecagono (con il lato) | |
Lato (con il perimetro) | ![]() |
Area del dodecagono (dato l'apotema) | ![]() |
Apotema (con area e perimetro) | ![]() |
Perimetro del dodecagono (con apotema) | ![]() |
Numero fisso del dodecagono | ![]() |
Apotema (con numero fisso e lato) | |
Lato (dato l'apotema) | |
Costante d'area del dodecagono | ![]() |
Area del dodecagono (dalla costante) | ![]() |
Lato del dodecagono (dalla costante) | ![]() |
Dodecagono inscritto e circonferenza circoscritta | |
Lato del dodecagono (dal raggio) | ![]() |
Apotema (dal raggio) | ![]() |
Area del dodecagono (dal raggio) |
Proprietà del dodecagono regolare
1) Un dodecagono regolare si può sia inscrivere che circoscrivere ad una circonferenza.
2) Il numero delle diagonali di un dodecagono è pari a 54, e per ogni vertice passano 9 diagonali.
3) Le sei diagonali che si formano unendo due vertici diametralmente opposti (quelle in figura) si incontrano in uno stesso punto detto centro del dodecagono che le divide in segmenti congruenti ed è il centro sia della circonferenza inscritta sia di quella circoscritta al dodecagono.
4) Queste sei diagonali dividono il dodecagono in 12 triangoli isosceli aventi gli angoli alla base di 75° e l'angolo al vertice ampio 30°.
5) L'apotema del dodecagono (raggio della circonferenza inscritta) coincide con l'altezza dei triangoli isosceli in cui è diviso dalle diagonali.
6) La somma degli angoli interni del dodecagono è pari a 1800°.
7) La somma degli angoli esterni di un dodecagono è pari a 360°
8) Un dodecagono regolare ha 12 assi di simmetria: le 6 diagonali che si formano unendo i vertici diametralmente opposti ed i 6 segmenti che uniscono i punti medi di due lati opposti.
9) Il centro del dodecagono ne è il centro di simmetria.
Ribadiamo bene che quanto fin qui detto vale per i dodecagoni regolari. Non ci sono infatti formule specifiche che valgano per i dodecagoni qualsiasi.
Esercizi svolti sul dodecagono
Lo sapete che abbiamo svolto molti esercizi sul dodecagono? Per raggiungerli vi basta utilizzare la barra di ricerca interna. ;)
Buon proseguimento su YouMath!
Giuseppe Carichino (Galois)
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