Equivalenza tra figure
L'equivalenza tra figure piane è la condizione per cui due figure piane hanno la stessa area. La nozione di equivalenza si estende anche alle Geometria Solida: due solidi si dicono equivalenti se hanno lo stesso volume.
In modo analogo a quanto fatto nel caso del perimetro, in cui abbiamo introdotto la nozione di isoperimetria, in questa lezione presentiamo il concetto di equivalenza e vediamo quali sono le implicazioni dell'equivalenza tra figure di diverso tipo con riferimento ai loro elementi caratteristici.
Per completezza concludiamo con un'anticipazione relativa all'equivalenza tra solidi dal momento che tale concetto si ripropone anche in Geometria Solida, seppur con un altro significato.
Indice
Definizione di equivalenza tra figure piane
Due figure piane sono equivalenti se hanno la stessa estensione, ossia se hanno la stessa area.
La definizione di per sé è semplice ma è necessario fare subito una precisazione, perché molti studenti tendono a confondere la nozione di equivalenza con quella di congruenza. Due figure piane sono congruenti se sono sovrapponibili mediante un movimento rigido, mentre sono equivalenti se hanno la stessa area.
Si capisce allora che due figure piane congruenti sono sempre equivalenti, mentre il viceversa in generale non è vero: due figure equivalenti non sono necessariamente congruenti.
Possiamo infatti considerare figure diverse, dunque non congruenti tra loro, e nonostante ciò equivalenti. Consideriamo ad esempio i due triangoli rappresentati nella seguente immagine.
La base del triangolo 
è 
ed è congruente alla base 
del triangolo 
. Le altezze dei due triangoli hanno la stessa lunghezza, ovvero 
.
Calcoliamo le aree dei due triangoli:
Il triangolo ha area
Il triangolo ha area
I due triangoli non sono congruenti, nel senso che non sono sovrapponibili, nonostante ciò hanno la stessa area e dunque sono equivalenti.
Equivalenze notevoli tra poligoni
Alcune equivalenze tra poligoni sono particolarmente utili nella risoluzione dei problemi di Geometria piana; ecco quelle più importanti e ricorrenti.
- Due triangoli con la stessa base e la stessa altezza sono equivalenti.
- Un triangolo è equivalente a un parallelogramma che ha come base un segmento pari alla metà della base del triangolo e la stessa altezza.
- Un trapezio è equivalente a un triangolo che ha come base un segmento pari alla somma delle basi del trapezio e la stessa altezza del trapezio.
- Un qualsiasi poligono circoscritto a una circonferenza è equivalente a un triangolo che ha per base il perimetro del poligono e per altezza il raggio della circonferenza.
L'ultima equivalenza è fondamentale, perché grazie ad essa si arriva alla formula del calcolo dell'area dei poligoni circoscritti:
Equivalenza tra solidi
Quando abbiamo a che fare con solidi l'equivalenza non si traduce nell'uguaglianza delle aree; piuttosto, due solidi si dicono equivalenti se hanno lo stesso volume.
Lo stesso termine esprime quindi due proprietà diverse e il suo significato dipende dal contesto.
La lezione termina qui. C'è qualcosa di poco chiaro? Qualche problema ostico che non sapete risolvere? Ricordatevi che qui su YM abbiamo risposto a migliaia di domande e risolto altrettanti esercizi: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)
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Fulvio Sbranchella (Agente Ω)
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