Parabola

La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta detta direttrice; in termini più generali una parabola è una conica non degenere.

In questo formulario presentiamo la definizione e tutte le principali formule della parabola nel piano cartesiano, distinguendo tra parabole ad asse di simmetria verticale e ad asse di simmetria orizzontale e presentando le possibili equazioni della parabola. In questo frangente porremo particolare attenzione alle formule per il calcolo di vertice, asse, fuoco e direttrice.

Per non appesantire troppo il formulario ci limiteremo a riportare le definizioni e le formule utili per la risoluzione dei problemi e degli esercizi di Geometria Analitica. Nel corso della spiegazione vi rimanderemo ad alcuni approfondimenti utili, come la dimostrazione dell'equazione della parabola e lo studio del segmento parabolico. Non ci soffermeremo su alcun esempio, ma non preoccupatevi: a fine lezione potrete accedere ad una scheda di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

Definizione di parabola

Riprendiamo la definizione di parabola che abbiamo anticipato nell'introduzione e commentiamola brevemente: si definisce parabola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso , detto fuoco, e da una retta , detta direttrice.

Volendo esprimere la definizione in termini algebrici possiamo chiamare un generico punto della parabola e scrivere

$dist(P,d)=\overline{PF}$

Se siete alle prime armi la definizione potrebbe non dirvi nulla di che, per cui passiamo ad una rappresentazione grafica. Come si intuisce subito la direttrice regola la disposizione che una parabola può assumere nel piano cartesiano. Trattandosi di una retta essa può avere in generale qualsiasi possibile inclinazione.

È bene precisare che alle scuole superiori si trattano esclusivamente le parabole con direttrice orizzontale e verticale. Lo studio di qualsiasi altro tipo di parabola avviene solamente all'università nei corsi di Algebra Lineare (gli interessati possono approfondire nella lezione sulla classificazione delle coniche).

Parabola con asse di simmetria verticale

Parabola ad asse di simmetria verticale

Direttrice orizzontale

Parabola con asse di simmetria orizzontale

Parabola ad asse di simmetria orizzontale

Direttrice verticale

A seconda che la direttrice sia orizzontale o verticale otterremo rispettivamente una parabola con asse di simmetria verticale oppure orizzontale. A livello teorico la definizione di partenza è sempre la stessa, ma nella pratica nei due casi considerati si ottengono equazioni e formule completamente diverse.

Dalle due rappresentazioni possiamo elencare le definizioni degli elementi caratteristici di una parabola:

- asse di simmetria della parabola: è la retta che divide la parabola in due parti uguali;

- vertice della parabola: è il punto di intersezione tra la parabola e l'asse di simmetria;

- fuoco della parabola: è il punto che realizza la medesima distanza rispetto alla direttrice per ciascun punto della parabola;

- direttrice della parabola: è la retta che realizza la medesima distanza rispetto al fuoco per ciascun punto della parabola.

Formule della parabola

Il modo migliore per elencare le formule della parabola prevede di considerare separatamente i due casi: parabola ad asse di simmetria verticale e parabola ad asse di simmetria orizzontale

Equazione della parabola con asse di simmetria verticale

Nel caso dell'asse di simmetria verticale l'equazione della parabola è data da

$y=ax^2+bx+c\ \ \ (a\neq 0)$

ossia un'equazione quadratica (di secondo grado) in due incognite in cui non compare il termine , e che solitamente viene espressa in forma esplicita . I coefficienti sono coefficienti numerici mentre sono le incognite. La logica dell'equazione rispecchia l'usuale condizione di appartenenza dei punti: un punto appartiene alla parabola se e solo se le sue coordinate cartesiane ne soddisfano l'equazione.

La condizione per avere una parabola è che sia $a\neq 0$ altrimenti ci troveremmo con l'equazione di una retta . I coefficienti possono invece assumere qualsiasi valore.

Un aspetto importantissimo riguarda il segno del coefficiente , il quale individua i verso in cui la parabola volge la propria concavità

Parabola rivolta verso l'alto

Parabola rivolta verso l'alto

Concavità rivolta verso l'alto

Parabola rivolta verso il basso

Parabola rivolta verso il basso

Concavità rivolta verso il basso

Nel caso particolare $a=1,\ b=0,\ c=0$ otteniamo la parabola rivolta verso l'alto con asse di simmetria dato dall'asse delle ordinate e vertice nell'origine degli assi cartesiani

Non dilunghiamoci oltre: qui non riportiamo la dimostrazione che permette di ricavare la precedente equazione dalla definizione, ossia da $d(r,P)=\overline{PF}$ . Chiunque fosse interessato può leggerla qui: equazione della parabola.

Passiamo piuttosto alle formule per il calcolo delle coordinate del vertice della parabola, del fuoco e per le equazioni dell'asse e della direttrice. A questo proposito ci tornerà molto utile il Delta della parabola

$\Delta=b^2-4ac$

ossia il discriminante dell'equazione di secondo grado associata all'equazione della parabola: .

Vertice	Fuoco
$V=\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)$	$F=\left(-\frac{b}{2a},\frac{1-\Delta}{4a}\right)$
Asse	Direttrice
$x=x_V=-\frac{b}{2a}$	$y=-\frac{1+\Delta}{4a}$

Equazione della parabola con asse di simmetria orizzontale

Nel caso della parabola ad asse di simmetria orizzontale valgono considerazioni del tutto analoghe rispetto al caso verticale, solo che l'equazione della parabola si presenta nella forma

Anche qui la condizione per avere una parabola, e non una retta, è che sia $a\neq 0$ . Il segno del coefficiente determina l'orientamento della parabola e in particolare della sua concavità

Parabola rivolta verso destra

Parabola rivolta verso destra

Concavità rivolta verso destra

Parabola rivolta verso sinistra

Parabola rivolta verso sinistra

Concavità rivolta verso sinistra

Nel caso particolare $a=1,\ b=0,\ c=0$ otteniamo la parabola con asse dato dall'asse delle ascisse, vertice nell'origine e rivolta verso destra:

Le formule per il calcolo delle coordinate del vertice della parabola, del fuoco e per le equazioni dell'asse e della direttrice sono le seguenti:

Vertice	Fuoco
$V=\left(-\frac{\Delta}{4a},-\frac{b}{2a}\right)$	$F=\left(\frac{1-\Delta}{4a},-\frac{b}{2a}\right)$
Asse	Direttrice
$y=y_V=-\frac{b}{2a}$	$x=-\frac{1+\Delta}{4a}$

Esempi sulla parabola

Per le spiegazioni nel dettaglio e per i relativi esempi, vi invitiamo a consultare le pagine dei seguenti link

- Equazione della parabola: verticale o orizzontale?

- Come calcolare le coordinate del vertice di una parabola.

- Come trovare le coordinate del fuoco di una parabola.

- Ricavare l'equazione della direttrice di una parabola.

Come disegnare una parabola

Immaginate di disporre dell'equazione di una parabola con asse di simmetria verticale o orizzontale e di volerla disegnare nel piano cartesiano. Come dovremmo comportarci? Partendo dal presupposto che ci basterebbe una rappresentazione precisa ma non esatta, dobbiamo:

- leggere l'equazione e capire che tipo di asse presenta (verticale o orizzontale) e qual è il verso della parabola (sopra o sotto, destra o sinistra);

- calcolare le coordinate del vertice;

- disegnare l'asse di simmetria partendo dalle coordinate del vertice;

- calcolare le coordinate di due punti distinti e opposti rispetto all'asse di simmetria;

- disegnare la parabola congiungendo i punti con il vertice e prolungandola indefinitamente.

Il procedimento si basa su un teorema della Geometria per cui per tre punti distinti passa una ed una sola parabola. Non ci dilunghiamo su questo metodo, ma se volete consultare un esempio potete leggere qui: come disegnare una parabola.

Possibili posizioni di una retta rispetto ad una parabola

Esattamente come nel caso della circonferenza, una classica tipologia di esercizi richiede di studiare le possibili posizioni retta-parabola. Per non mettere troppa carne sul fuoco preferiamo parlarne nel formulario successivo.

Equazione della retta tangente alla parabola in un punto

Esiste una formula che consente di calcolare l'equazione della retta tangente alla parabola in un suo punto, detta formula di sdoppiamento. A seconda che la parabola sia ad asse di simmetria verticale od orizzontale , detto il punto in cui vogliamo determinare la tangente, quest'ultima avrà equazione rispettivamente data da

$\\ \frac{y+y_P}{2}=ax_Px+b\cdot \frac{x+x_P}{2}+c\\ \\ \\ \frac{x+x_P}{2}=ay_Py+b\cdot \frac{y+y_P}{2}+c$

Da parte nostra vi suggeriamo di non ricordare queste due formule: è molto più utile studiare e capire il metodo generale che permette di scrivere le formule di sdoppiamento.

Concludiamo con una curiosità. Nel linguaggio comune la parabola ricorre spessissimo e si sente parlare di "parabola ascendente o discendente"; ora dovrebbe essere chiaro qual è il punto di riferimento: il vertice, ovviamente! Purtroppo si parla anche di parabola satellitare riferendosi al celeberrimo apparecchio di ricezione televisiva, ma non fatevi ingannare: la forma delle antenne per la pay-tv non è quella di una linea, bensì una superficie ottenuta facendo ruotare una parabola intorno al proprio asse e che prende il nome di paraboloide.

A questo punto un po' di allenamento è d'obbligo: vi aspettiamo nella scheda correlata di esercizi svolti. Se siete in cerca di ulteriori approfondimenti come quello sullo studio del segmento parabolico, vi invitiamo a fare buon uso della barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di problemi e di esercizi risolti nel dettaglio, e tra le altre cose anche un comodo tool per studiare la parabola online. ;)

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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