Parabola

La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta detta direttrice; in termini più generali una parabola è una conica non degenere.

In questo formulario presentiamo la definizione e tutte le principali formule della parabola nel piano cartesiano, distinguendo tra parabole ad asse di simmetria verticale e ad asse di simmetria orizzontale e presentando le possibili equazioni della parabola. In questo frangente porremo particolare attenzione alle formule per il calcolo di vertice, asse, fuoco e direttrice.

Per non appesantire troppo il formulario ci limiteremo a riportare le definizioni e le formule utili per la risoluzione dei problemi e degli esercizi di Geometria Analitica. Nel corso della spiegazione vi rimanderemo ad alcuni approfondimenti utili, come la dimostrazione dell'equazione della parabola e lo studio del segmento parabolico. Non ci soffermeremo su alcun esempio, ma non preoccupatevi: a fine lezione potrete accedere ad una scheda di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

Definizione di parabola

Riprendiamo la definizione di parabola che abbiamo anticipato nell'introduzione e commentiamola brevemente: si definisce parabola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso , detto fuoco, e da una retta , detta direttrice.

Volendo esprimere la definizione in termini algebrici possiamo chiamare un generico punto della parabola e scrivere

Se siete alle prime armi la definizione potrebbe non dirvi nulla di che, per cui passiamo ad una rappresentazione grafica. Come si intuisce subito la direttrice regola la disposizione che una parabola può assumere nel piano cartesiano. Trattandosi di una retta essa può avere in generale qualsiasi possibile inclinazione.

È bene precisare che alle scuole superiori si trattano esclusivamente le parabole con direttrice orizzontale e verticale. Lo studio di qualsiasi altro tipo di parabola avviene solamente all'università nei corsi di Algebra Lineare (gli interessati possono approfondire nella lezione sulla classificazione delle coniche).

Parabola ad asse di simmetria verticale

Direttrice orizzontale

Parabola ad asse di simmetria orizzontale

Direttrice verticale

A seconda che la direttrice sia orizzontale o verticale otterremo rispettivamente una parabola con asse di simmetria verticale oppure orizzontale. A livello teorico la definizione di partenza è sempre la stessa, ma nella pratica nei due casi considerati si ottengono equazioni e formule completamente diverse.

Dalle due rappresentazioni possiamo elencare le definizioni degli elementi caratteristici di una parabola:

- asse di simmetria della parabola: è la retta che divide la parabola in due parti uguali;

- vertice della parabola: è il punto di intersezione tra la parabola e l'asse di simmetria;

- fuoco della parabola: è il punto che realizza la medesima distanza rispetto alla direttrice per ciascun punto della parabola;

- direttrice della parabola: è la retta che realizza la medesima distanza rispetto al fuoco per ciascun punto della parabola.

Formule della parabola

Il modo migliore per elencare le formule della parabola prevede di considerare separatamente i due casi: parabola ad asse di simmetria verticale e parabola ad asse di simmetria orizzontale

Equazione della parabola con asse di simmetria verticale

Nel caso dell'asse di simmetria verticale l'equazione della parabola è data da

ossia un'equazione quadratica (di secondo grado) in due incognite in cui non compare il termine , e che solitamente viene espressa in forma esplicita . I coefficienti sono coefficienti numerici mentre sono le incognite. La logica dell'equazione rispecchia l'usuale condizione di appartenenza dei punti: un punto appartiene alla parabola se e solo se le sue coordinate cartesiane ne soddisfano l'equazione.

La condizione per avere una parabola è che sia altrimenti ci troveremmo con l'equazione di una retta . I coefficienti possono invece assumere qualsiasi valore.

Un aspetto importantissimo riguarda il segno del coefficiente , il quale individua i verso in cui la parabola volge la propria concavità

Parabola rivolta verso l'alto

Concavità rivolta verso l'alto

Parabola rivolta verso il basso

Concavità rivolta verso il basso

Nel caso particolare