Periodo di funzioni goniometriche

Il periodo di una funzione goniometrica f(x), solitamente indicato con T, è per definizione il più piccolo numero reale positivo che realizza l'uguaglianza f(x+T)=f(x) al variare di x.

 

In questa lezione, oltre a definire il periodo di una funzione goniometrica, esporremo le strategie di calcolo del periodo delle funzioni goniometriche. Le tecniche che analizzeremo sono per lo più quelle che vengono presentate alle scuole superiori e forniscono i primi, rudimentali, strumenti di calcolo.

 

Per procedere ovviamente è necessario avere dimestichezza con le funzioni goniometriche elementari; in aggiunta consigliamo vivamente di ripassare le formule trigonometriche.

 
 
 

Periodo di una funzione goniometrica

 

Una caratteristica comune alle funzioni goniometriche elementari è la proprietà di periodicità. In parole povere osservandone i grafici si vede subito che esse ripetono il proprio comportamento periodicamente nell'insieme su cui sono definite.

 

Come si può esprimere questo fatto matematicamente? La nozione di funzione periodica viene presentata in termini rigorosi quando si inizia a studiare l'Analisi Matematica, e viene definita come una precisa proprietà che caratterizza alcune funzioni. Il discorso non si limita alle sole funzioni goniometriche ed è ben più generale: per il momento noi siamo interessati solamente al contesto della Trigonometria, quindi qui di seguito ci limiteremo ad alcuni spunti pratici che ci permetteranno di calcolare il periodo delle funzioni goniometriche.

 

Chi fosse interessato a tutti gli approfondimenti teorici può leggere, prima o dopo, la lezione sulle funzioni periodiche.

 

Consideriamo una qualsiasi funzione goniometrica elementare, quindi una tra

 

\\ y=\sin(x)\ \ \ ;\ \ \ y=\cos(x)\\ \\ y=\tan(x)\ \ \ ;\ \ \ y=\cot(x)\\ \\ y=\sec(x)\ \ \ ;\ \ \ y=\csc(x)

 

e, al fine di poterci esprimere in termini generali, chiamiamola y=f(x). Ognuna delle funzioni goniometriche elementari ha un proprio insieme di definizione ben preciso, che indicheremo per generalità con Dom(f).

 

Per esprimere formalmente il comportamento periodico delle funzioni goniometriche elementari è necessario e sufficiente scrivere una precisa condizione algebrica. Non è difficile: y=f(x) è periodica di periodo T_f, dove T_f è un numero reale positivo, se e solo se valgono le seguenti condizioni:

 

x\in Dom(f)\ \mbox{ se e solo se }\ \ x+T_f\in Dom(f)

 

ossia: se la funzione è definita in un punto x, allora è anche definita nei punti x+T_f\ , \ x+2T_f, \ x+3T_f,\ ... e così via; d'altro canto se la funzione è definita in un punto x+T_f allora è anche definita nei punti x, \ x-T_f, \ x-2 T_f, \ ....

 

f(x+T_f)=f(x) \ \ \ \mbox{per ogni}\ x\in Dom(f)

 

ossia: comunque consideriamo un punto x\in Dom(f), la funzione assume nel punto x+T_f il medesimo valore.

 

Il periodo T_f della funzione goniometrica f(x) è definito come il più piccolo numero reale positivo che realizza le condizioni richieste dalla definizione.

 

Periodo delle funzioni goniometriche elementari

 

Date uno sguardo ai grafici delle funzioni goniometriche elementari e capirete in un istante la definizione di periodicità. Qui di seguito elenchiamo i periodi che caratterizzano ciascuna di esse, i quali si deducono direttamente dalle definizioni di seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante.

 

 

Funzione goniometrica elementare

Simbolo

Periodo

Funzione seno

y=\sin(x)T_{\sin(x)}=2\pi

Funzione coseno

y=\cos(x)T_{\cos(x)}=2\pi

Funzione tangente

y=\tan(x)T_{\tan(x)}=\pi
Funzione cotangentey=\cot(x)T_{\cot(x)}=\pi

Funzione secante

y=\sec(x)T_{\sec(x)}=2\pi

Funzione cosecante

y=\csc(x)T_{\csc(x)}=2\pi

 

Come calcolare il periodo di una funzione goniometrica qualsiasi

 

Come vedremo tra un istante, partendo dal periodo delle funzioni goniometriche elementari è possibile calcolare il periodo di una funzione goniometrica qualsiasi***, ossia di una funzione

 

y=f(x)

 

che è definita mediante operazioni tra funzioni goniometriche elementari ed in cui compaiono somme e prodotti per una o più costanti.

 

***o quasi. Sarebbe più corretto dire che c'è una serie di regole che permette di calcolare il periodo di buona parte delle funzioni goniometriche... ;)

 

Periodo delle funzioni goniometriche del tipo y=A·f(ωx+φ)+B

 

La prima regola riguarda la somma e il prodotto per una costante in riferimento all'argomento o all'intera funzione goniometrica elementare. Per coprire tutti i possibili casi in un colpo solo indichiamo con A,\omega due numeri reali non nulli e con B,\phi due numeri reali qualsiasi.

 

y=Af(\omega x+\phi)+B

 

1) La funzione sinusoidale

 

y=A\sin(\omega x+\phi)+B

 

ha periodo

 

T=\frac{2\pi}{|\omega|}

 

dove |\omega| indica il valore assoluto di \omega.

 

2) La funzione cosinusoidale

 

y= A\cos(\omega x +\phi)+B

 

ha periodo

 

T=\frac{2\pi}{|\omega|}

 

3) La funzione tangentoidale

 

y=A\tan(\omega x +\phi)+B

 

ha periodo

 

T=\frac{\pi}{|\omega|}

 

4) La funzione

 

y=A\cot(\omega x +\phi)+B

 

ha periodo

 

T=\frac{\pi}{|\omega|}

 

5) La funzione

 

y=A\sec(\omega x +\phi)+B

 

ha periodo

 

T=\frac{2\pi}{|\omega|}

 

6) La funzione

 

y=A\csc(\omega x +\phi)+B

 

ha periodo

 

T=\frac{2\pi}{|\omega|}

 

In termini generali notiamo come le costanti A,\phi,B non influenzino in alcun modo il periodo, il cui valore dipende esclusivamente dal coefficiente di x, ossia \omega. Per i più curiosi, ciò è dovuto significato grafico della somma e del prodotto di una costante per una funzione o per l'argomento di una funzione, di cui parliamo nel dettaglio nella lezione sul grafico intuitivo.

 

In ogni caso, attenzione a non dimenticare il valore assoluto nel calcolo del periodo.

 

 

Esempi

 

\\ f(x)=5\sin\left(-3x+\frac{\pi}{3}\right)+2\\ \\ \\ T_{f}=\frac{2\pi}{|\omega|}=\frac{2\pi}{|-3|}=\frac{2}{3}\pi\\ \\ \\ f(x)=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-2\\ \\ \\ T_{f}=\frac{2\pi}{|\omega|}=2\pi\\ \\ \\ f(x)=\frac{2}{3}\tan\left(\pi x\right)+5\\ \\ \\ T_{f}=\frac{\pi}{|\omega|}=\frac{\pi}{\pi}=1

 

Calcolare il periodo di una funzione goniometrica con la definizione

 

In generale il calcolo del periodo di una funzione goniometrica è tutt'altro che elementare e per di più esistono svariate tecniche che permettono di effettuarlo. Solitamente alle scuole superiori l'unico metodo che viene proposto è quello che si basa direttamente sulla definizione di funzione periodica.

 

Il calcolo del periodo di una funzione goniometrica y=f(x) può avvenire mediante la definizione di periodo: lo scopo consiste nel determinare il più piccolo numero reale positivo T_f che realizza l'uguaglianza

 

f(x)=f(x+T_f)\ \ \ \mbox{ per ogni }x\in Dom(f)

 

Qui è bene sottolineare che il periodo è una costante reale che non dipende dalla variabile x.

 

In buona sostanza il calcolo del periodo si riduce alla risoluzione di un'equazione goniometrica. Tale metodo può tradursi all'atto pratico in tre possibilità:

 

1) la funzione goniometrica ha un'espressione semplice → scriviamo l'equazione goniometrica che deriva dalla definizione e la risolviamo per determinare il periodo.

 

2) La funzione goniometrica ha un'espressione complessa → proviamo a semplificarne l'espressione mediante le formule trigonometriche, per poi applicare la definizione e risolvere l'equazione goniometrica.

 

3) La funzione goniometrica non può essere semplificata, e a prescindere dalle semplificazioni conduce a un'equazione goniometrica non risolvibile algebricamente.

 

Il caso 3) rappresenta una grossa limitazione per il metodo di calcolo del periodo mediante la definizione, ma per vostra informazione (e fortuna) alle scuole superiori non ricadrete mai in tale eventualità. Diciamocela tutta: alle superiori il calcolo del periodo di funzioni trigonometriche è una pura e semplice applicazione della teoria delle equazioni goniometriche, e nulla più.

 

All'università (e perché no, in alcuni istituti di eccellente livello) il calcolo del periodo si basa su un metodo ben più generale e avanzato che esula dalla Trigonometria e che menzioneremo a fine lezione.

 

Esempi sul calcolo del periodo di una funzione goniometrica mediante la definizione

 

Esempio 1

 

Calcoliamo il periodo della seguente funzione goniometrica mediante la definizione:

 

f(x)=3\sin(2x+275^o)+2

 

Svolgimento: determiniamo il termine f(x+T_f) sostituendo ad ogni occorrenza di x della funzione il termine x+T_f

 

f(x+T_f)=3\sin(2(x+T_f)+275^o)+2

 

e impostiamo l'uguaglianza

 

f(x)=f(x+T_f)

 

ossia

 

3\sin(2x+275^\circ)+2=3\sin(2(x+T_f)+275^\circ)+2

 

A questo punto è necessario risolvere l'equazione goniometrica: sottraiamo membro a membro 2

 

3\sin(2x+275^\circ)=3\sin(2(x+T_f)+275^\circ)

 

e dividiamo ambo i membri per 3, così da ottenere l'equazione goniometrica equivalente in cui l'incognita è T_f

 

\sin(2x+275^\circ)=\sin(2(x+T_f)+275^\circ)

 

Dalla teoria delle equazioni goniometriche è noto che i seni coincidono se la differenza dei loro argomenti è un multiplo di 360° oppure 180° più multipli di 360°. In altri termini otteniamo le due equazioni:

 

\\ 2x+275^\circ=2(x+T_f)+275^\circ +360^\circ k\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z} \\ \\ \mbox{oppure} \\ \\ 2x+275^\circ=180^\circ -[2(x+T_f)+275^\circ]+360^\circ k \ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

Risolviamo separatamente le due equazioni rispetto all'incognita T_f cominciando dalla prima:

 

\\ 2x+275^\circ=2x+2T_f+275^\circ+360^\circ k

 

Cancelliamo 2x\mbox{ e }275^\circ ambo i membri

 

0=2T_f+360^\circ k

 

e riscriviamo l'equazione in forma equivalente

 

-2T_f=360^\circ k\implies T_f=-180^\circ k \ \ \ \mbox{ con }k\in\mathbb{Z}

 

Al variare di k nell'insieme dei numeri relativi otteniamo valori diversi di T_f. Tra questi il più piccolo valore positivo si candida ad essere il periodo della funzione

 

T_f=180^\circ\ \ \ \mbox{ ottenuto per }k=-1

 

Non dimentichiamoci che c'è una seconda equazione da risolvere, e che essa potrebbe fornirci un valore minore di quello appena scritto. L'equazione nell'incognita T_f

 

\\ 2x+275^\circ=180^\circ -[2(x+T_f)+275^\circ]+360^\circ k

 

Dopo alcuni passaggi algebrici si esprime nella forma equivalente

 

T_f=-185^\circ+180^\circ k-2x

 

Tale equazione non permette di determinare il periodo poiché quest'ultimo dipenderebbe dalla variabile x, violando quindi la definizione stessa di periodo (che deve essere una costante). In sostanza la seconda equazione non aggiunge alcuna informazione ai risultati della prima.

 

In conclusione il periodo della funzione trigonometrica è

 

T_f=180^\circ\ \ \ \mbox{ ottenuto per }k=-1

 

 

Esempio 2

 

Determiniamo il periodo della seguente funzione goniometrica mediante la definizione di periodo.

 

f(x)=\cos(3x)+1

 

Svolgimento: calcoliamo il termine f(x+T_f) sostituendo x+T_f ad ogni occorrenza di x nella funzione

 

f(x+T_f)=\cos(3(x+T_f))+1

 

e imponiamo l'uguaglianza

 

f(x+T_f)=f(x)

 

ossia

 

\cos(3(x+T_f))+1=\cos(3x)+1

 

Cancelliamo da entrambi i membri 1 e risolviamo l'equazione goniometrica

 

\cos(3(x+T_f))=\cos(3x)

 

In accordo con la teoria delle equazioni trigonometriche, due coseni sono uguali se e solo se la somma o la differenza degli argomenti sono multipli di un angolo giro.

 

\\ 3(x+T_f)=3x+2k\pi \ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}\\ \\ \mbox{oppure}\\ \\ 3(x+T_f)=-3x+2k\pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

Risolviamo le due equazioni rispetto all'incognita T_f, partendo dalla prima equazione

 

3x+3T_f=3x+2k\pi

 

Eliminiamo 3x e dividiamo i due membri per 3

 

\\ 3T_f=2k\pi\\ \\ T_f=\frac{2k\pi}{3}

 

Al variare del numero intero k varia anche il termine T_f e il minor valore positivo che può assumere si ottiene quando k=1. Deduciamo che il periodo potrebbe essere

 

T_f=\frac{2\pi}{3}

 

Per concludere l'esercizio dobbiamo controllare cosa succede risolvendo la seconda equazione

 

3(x+T_f)=-3x+2k\pi

 

Calcoliamo il prodotto al primo membro e successivamente isoliamo l'incognita T_f al primo membro

 

\\ 3x+3T_f=-3x+2k\pi \\ \\ 3T_f=-6x+2k\pi \\ \\ T_f=-3x+\frac{2k\pi}{3} \ \ \ \mbox{ con }k\in\mathbb{Z}

 

Dall'ultima uguaglianza non possiamo dedurre il periodo di f(x) perché nell'espressione di T_f compare la variabile x, in altri termini il periodo della funzione dipenderebbe dal valore x e ciò non deve succedere.

 

In definitiva la funzione goniometrica ha periodo

 

T_f=\frac{2\pi}{3}

 

Calcolare il periodo di una funzione con le formule trigonometriche

 

Ribadiamolo ancora una volta: il calcolo del periodo di una funzione goniometrica mediante la definizione è una tecnica efficiente solo nei casi più semplici, mentre perde la sua utilità in presenza di espressioni goniometriche elaborate. È evidente che calcolare il periodo di

 

y=\cos(2x)

 

con la definizione è ben più semplice rispetto a

 

y=2\sin(x)+3\cos(2x)

 

Come dobbiamo comportarci se la funzione di cui si vuole calcolare il periodo ha un'espressione elaborata? La risposta è: dipende da come si presenta la funzione. ;)

 

Nel caso di funzioni goniometriche con espressioni elaborate un possibile metodo consiste nell'usare le formule trigonometriche in modo da cercare di esprimere f(x) in una delle seguenti forme notevoli:

 

\\ y=A\sin(\omega x+\phi)+B \ \ \ ; \ \ \ y=A\cos(\omega x+\phi)+B\\ \\ y=A\tan(\omega x+\phi)+B\ \ \ ;\ \ \ y=A\cot(\omega x+\phi)+B\\ \\ y=A\sec(\omega x+\phi)+B \ \ \ ; \ \ \ y=A\csc(\omega x+\phi)+B

 

\mbox{con }A\ne 0\mbox{ e }\omega\ne 0

 

di cui sono note le formule per il calcolo del periodo.

 

Esempi sul calcolo del periodo con le formule trigonometriche

 

Esempio 1

 

Calcoliamo il periodo della funzione

 

f(x)=\sin(2x)+\cos(2x)

 

Svolgimento: siamo al cospetto di una somma tra un seno e un coseno che hanno lo stesso argomento. Mediante il metodo dell'angolo aggiunto possiamo esprimere f(x) nella forma equivalente

 

f(x)=\sqrt{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)

 

In questo modo ci siamo ricondotti ad una funzione sinusoidale del tipo

 

y=A\sin(\omega x+\phi)+B

 

il cui periodo è dato da

 

T=\frac{2\pi}{|\omega|}

 

Nel caso in esame \omega=2, pertanto possiamo concludere che il periodo cercato è

 

T_f=\frac{2\pi}{2}=\pi

 

 

Esempio 2

 

Calcoliamo il periodo della funzione

 

f(x)=1+2\sin^2(x)

 

Svolgimento: in tale situazione, il termine che deve essere trasformato è il quadrato del seno. Grazie alle formule di duplicazione del coseno sappiamo che

 

\cos(2x)=1-2\sin^2(x)

 

da cui si evince che

 

2\sin^2(x)=1-\cos(2 x)

 

Sostituiamo nella funzione e sommiamo i termini simili così da ottenere

 

\\f(x)=1+1-\cos(2x)=-\cos(2x)+2

 

Ci siamo ricondotti ad una funzione cosinusoidale

 

y=A\cos(\omega x+\phi)+B

 

di cui è noto il periodo:

 

T=\frac{2\pi}{|\omega|}

 

Nel caso in esame

 

\omega=2

 

e il periodo della funzione f(x)  è

 

T_f=\frac{2\pi}{2}=\pi

 

È chiaro il procedimento? Bisogna lavorare con le identità trigonometriche al fine di ricondurci ad un'espressione per la quale conosciamo le tecniche di calcolo del periodo.

 

Metodo generale per il calcolo del periodo

 

Come promesso concludiamo la lezione con un cenno al metodo generale per calcolare il periodo di una funzione goniometrica qualsiasi, e non solo. Non lo presenteremo qui perché esso esula dallo studio della Trigonometria e compete piuttosto l'Analisi Matematica, per cui è oggetto di studio (raramente) al quinto anno delle scuole superiori e (più frequentemente) nei corsi universitari.

 

Per chi volesse approfondire ne parliamo qui: operazioni tra funzioni periodiche. ;)

 

 


 

Se siete in cerca di esercizi svolti potete servirvi della barra di ricerca interna: abbiamo trattato l'argomento più e più volte, ci sono parecchi esercizi risolti al riguardo. Inoltre sappiate che qui su YM c'è un utilissimo pool che permette di calcolare il periodo delle funzioni online. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

Lezione precedente


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