Formule parametriche
Le formule parametriche, in Trigonometria, sono formule goniometriche che permettono di esprimere il seno ed il coseno di un angolo in funzione di un parametro definito dalla tangente, ed in particolare dalla tangente di metà di tale angolo.
In questo breve formulario enunceremo le formule parametriche del seno e del coseno. Dopo averle elencate passeremo direttamente alle dimostrazioni, che vi invitiamo a leggere con attenzione anche se non fossero richieste dal vostro professore.
Precisiamo subito che le applicazioni delle formule parametriche sono tantissime. Probabilmente per i primi tempi non avrete occasione di apprezzarne l'utilità, ma avrete modo di rivalutarle quando arriverete a studiare gli integrali. ;)
Formule parametriche per il seno e il coseno
Sia un angolo.
Formula parametrica del seno
Formula parametrica del coseno
In entrambi i casi le formule si ricavano imponendo come parametro
Leggendo le formule parametriche dovrebbe essere più chiara la descrizione che ne abbiamo dato ad inizio lezione. Considerando la tangente di α/2 come un parametro è possibile scrivere seno e coseno mediante semplici espressioni parametriche
Si capisce subito che le formule parametriche per seno e coseno valgono a patto che la tangente non perda di significato, ossia sono valide sotto la condizione
Volendo esprimere la precedente condizione di validità in radianti, le formule parametriche valgono per
Utilità delle formule parametriche
Come vi abbiamo anticipato le formule parametriche sono di grande aiuto nelle applicazioni dell'Analisi Matematica, e tra queste diventano prominenti nel calcolo di diversi tipi di integrali
Nell'ambito della trigonometria si rivelano utili quando dobbiamo verificare identità goniometriche o risolvere equazioni goniometriche e disequazioni trigonometriche in cui compaiono seno e coseno. Non prendetele sotto gamba. ;)
Dimostrazione delle formule parametriche
Premettiamo che le dimostrazioni delle formule parametriche potrebbero sembrarvi un po' lunghe, ma è solo perché non vogliamo omettere alcun passaggio.
Dimostrazione della formula parametrica del seno
Partiamo dalla formula di duplicazione del seno
che possiamo pensare come
Facciamo riferimento alla relazione fondamentale della trigonometria (vedi formule trigonometriche)
e sostituiamo l'espressione di 1 nella relazione precedente
.
Se supponiamo che sia
possiamo dividere numeratore e denominatore per
da cui, semplificando e riorganizzando meglio il tutto
A questo punto basta ricordare com'è definita la tangente
e sostituire e quindi
Per concludere poniamo e otteniamo
Dimostrazione della formula parametrica del coseno
Per la dimostrazione della formula parametrica del coseno si procede esattamente allo stesso modo. Scriviamo la formula di duplicazione
e pensiamola come
Grazie alla relazione fondamentale della trigonometria
possiamo scrivere
Supponiamo ora che sia
per cui possiamo dividere numeratore e denominatore per
Riscriviamo numeratore e denominatore dividendo termine a termine
Dopo una rapidissima semplificazione applichiamo la definizione di tangente, e arriviamo a
Sostituiamo e
Concludiamo ponendo e arriviamo direttamente alla tesi
Nel formulario successivo proseguiremo con lo studio delle formule goniometriche, ma prima potete consultare la scheda correlata di esercizi svolti. Per tutto il resto - esercizi svolti, dubbi o domande - potete servirvi con la barra di ricerca interna. ;)
Buon proseguimento su YouMath,
Giuseppe Carichino (Galois)
Tags: formule parametriche per il seno e per il coseno.