Formule parametriche

Le formule parametriche, in Trigonometria, sono formule goniometriche che permettono di esprimere il seno ed il coseno di un angolo in funzione di un parametro definito dalla tangente, ed in particolare dalla tangente di metà di tale angolo.

In questo breve formulario enunceremo le formule parametriche del seno e del coseno. Dopo averle elencate passeremo direttamente alle dimostrazioni, che vi invitiamo a leggere con attenzione anche se non fossero richieste dal vostro professore.

Precisiamo subito che le applicazioni delle formule parametriche sono tantissime. Probabilmente per i primi tempi non avrete occasione di apprezzarne l'utilità, ma avrete modo di rivalutarle quando arriverete a studiare gli integrali. ;)

Formule parametriche per il seno e il coseno

Sia $\alpha$ un angolo.

Formula parametrica del seno

$\sin(\alpha)=\frac{2t}{1+t^2}$

Formula parametrica del coseno

$\cos(\alpha)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

In entrambi i casi le formule si ricavano imponendo come parametro

$t=\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\ \ \ \mbox{ con }\alpha \neq 180^{\circ} + k360^{\circ}$

Leggendo le formule parametriche dovrebbe essere più chiara la descrizione che ne abbiamo dato ad inizio lezione. Considerando la tangente di α/2 come un parametro è possibile scrivere seno e coseno mediante semplici espressioni parametriche

Si capisce subito che le formule parametriche per seno e coseno valgono a patto che la tangente non perda di significato, ossia sono valide sotto la condizione

$\frac{\alpha}{2} \neq 90^{\circ} + k180^{\circ}\ \to\ \alpha \neq 180^{\circ} + k360^{\circ}$

Volendo esprimere la precedente condizione di validità in radianti, le formule parametriche valgono per

$\alpha \neq \pi + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}$

Utilità delle formule parametriche

Come vi abbiamo anticipato le formule parametriche sono di grande aiuto nelle applicazioni dell'Analisi Matematica, e tra queste diventano prominenti nel calcolo di diversi tipi di integrali

Nell'ambito della trigonometria si rivelano utili quando dobbiamo verificare identità goniometriche o risolvere equazioni goniometriche e disequazioni trigonometriche in cui compaiono seno e coseno. Non prendetele sotto gamba. ;)

Dimostrazione delle formule parametriche

Premettiamo che le dimostrazioni delle formule parametriche potrebbero sembrarvi un po' lunghe, ma è solo perché non vogliamo omettere alcun passaggio.

Dimostrazione della formula parametrica del seno

Partiamo dalla formula di duplicazione del seno

$\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

che possiamo pensare come

$\sin(2\alpha)=\frac{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{1}$

Facciamo riferimento alla relazione fondamentale della trigonometria (vedi formule trigonometriche)

$\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1$

e sostituiamo l'espressione di 1 nella relazione precedente

$\sin(2\alpha)=\frac{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)}$ .

Se supponiamo che sia

$\cos^2(\alpha) \neq 0\ \to\ \alpha \neq 90^{\circ} + k 180^{\circ}$

possiamo dividere numeratore e denominatore per $\cos^2(\alpha)$

$\sin(2\alpha)=\frac{\frac{2 \sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}{\frac{\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}$

da cui, semplificando e riorganizzando meglio il tutto

$\sin(2\alpha) = \frac{\frac{2\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}{\frac{\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}+\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}$

A questo punto basta ricordare com'è definita la tangente

$\sin(2\alpha)=\frac{2 \tan(\alpha)}{1+\tan^2(\alpha)}$

e sostituire $\frac{\alpha}{2}\ \to\ \alpha$ e quindi $2\alpha\ \to\ \alpha$

$\sin(\alpha)=\frac{2\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Per concludere poniamo $t=\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ e otteniamo

$\sin(\alpha)=\frac{2t}{1+t^2}$

Dimostrazione della formula parametrica del coseno

Per la dimostrazione della formula parametrica del coseno si procede esattamente allo stesso modo. Scriviamo la formula di duplicazione

$\cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$

e pensiamola come

$\cos(2\alpha)=\frac{\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)}{1}$

Grazie alla relazione fondamentale della trigonometria

$\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1$

possiamo scrivere

$\cos(2\alpha)=\frac{\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)}$

Supponiamo ora che sia

$\cos^2(\alpha) \neq 0\ \to\ \alpha \neq 90^{\circ} + k 180^{\circ}$

per cui possiamo dividere numeratore e denominatore per $\cos^2(\alpha)$

$\cos(2\alpha)=\frac{\frac{\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}{\frac{\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}$

Riscriviamo numeratore e denominatore dividendo termine a termine

$\cos(2\alpha) = \frac{\frac{\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}-\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}{\frac{\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}+\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}$

Dopo una rapidissima semplificazione applichiamo la definizione di tangente, e arriviamo a

$\cos(2\alpha)=\frac{1-\tan^2(\alpha)}{1+\tan^2(\alpha)}$

Sostituiamo $\frac{\alpha}{2}\ \to\ \alpha$ e $2\alpha\ \to\ \alpha$

$\cos(\alpha)=\frac{1-\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Concludiamo ponendo $t=\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ e arriviamo direttamente alla tesi

$\cos(\alpha)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

Nel formulario successivo proseguiremo con lo studio delle formule goniometriche, ma prima potete consultare la scheda correlata di esercizi svolti. Per tutto il resto - esercizi svolti, dubbi o domande - potete servirvi con la barra di ricerca interna. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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Tags: formule parametriche per il seno e per il coseno.