Problemi d'urna

I problemi d'urna sono un particolare tipo di problemi di calcolo delle probabilità che riguardano, per l'appunto, estrazioni di palline da un'urna. Questo genere di esercizi si risolve con i teoremi e le nozioni apprese nel corso di Calcolo delle Probabilità e coinvolge spesso, ma non sempre, le formule di Calcolo Combinatorio.

 

Nella precedente scheda abbiamo trattato i problemi di riepilogo di Probabilità, risolvibili con i vari teoremi e con le nozioni studiate nel Calcolo delle Probabilità. Gli esercizi che ci accingiamo ad affrontare sono altresì riepilogativi, ma sono incentrati su un tipo di applicazione ben precisa: i problemi d'urna.

 

Questa scheda può considerarsi come un banco di prova per testare la propria preparazione sull'intero corso di Probabilità presente su YM, proprio perché presuppone di saper usare anche le formule di Calcolo Combinatorio. Prestate particolare attenzione: qui non vi diremo quali sono le tracce che lo richiedono. ;) 

 

Esercizi e problemi d'urna risolti

 

I) Un'urna contiene cinque palline numerate da 1 a 5 delle quali le prime tre sono nere e le altre rosse. Si estraggono due palline con reinserimento. Siano:

 

E_1 l'evento "la prima pallina estratta è nera";

 

E_2 l'evento "la seconda pallina estratta è nera".

 

(a) Descrivere un opportuno spazio campionario \Omega.

 

(b) Esplicitare gli eventi E_1, E_2, E_1 \cap E_2.

 

(c) Calcolare le probabilità degli eventi E_1,E_2,E_1 \cap E_2.

 

II) Un esperimento casuale consiste nell'estrarre una pallina da un'urna che contiene sette palline numerate da 1 a 7. Se si estrae una pallina con un numero dispari si lancia una moneta equilibrata; se si estrae una pallina con un numero pari si lancia un dado regolare a sei facce.

 

(a) Descrivere un appropriato spazio campionario \Omega.

 

(b) Esplicitare gli eventi:

 

E_1 → si presentano solo numeri pari,

 

E_2 → esce testa,

 

E_1 \cap E_2 e E_1 \cup E_2.

 

(c) Calcolare le probabilità degli eventi E_1, E_2, E_1 \cup E_2, E_1 \cap E_2.

 

(d) E_1,E_2 sono eventi complementari?

 

III) Da un'urna contenente dieci palline numerate da 1 a 10 si estrae una pallina. Determinare la probabilità che il numero della pallina sia dispari sapendo che è un numero divisibile per 3.

 

IV) Un'urna contiene 15 palline, di cui 8 rosse e 7 blu. Vengono estrarre due palline senza reimmissione. Ricorrendo alle formule di Calcolo Combinatorio, calcolare la probabilità che la prima pallina estratta sia rossa e la seconda sia blu.

 

V) Un'urna è composta da 12 palline, di cui 5 bianche e 7 nere. Si estraggono 5 palline in blocco. Calcolare la probabilità di estrarre 3 palline bianche e 2 palline nere.

 

VI) Un'urna contiene otto palline numerate da 1 a 8. Ne vengono estratte tre, l'una di seguito all'altra. Calcolare la probabilità di ottenere una terna che contiene la pallina numero 2 in seconda posizione nei seguenti casi:

 

(a) se l'estrazione avviene senza reinserimento;

 

(b) se l'estrazione avviene con reinserimento.

 

VII) Da un'urna contenente nove palline così numerate

 

-7, -5, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 8

 

vengono estratte quattro palline senza rimpiazzo e senza tenere conto dell'ordine di estrazione. Calcolare la probabilità che le palline estratte vi siano:

 

(a) quattro numeri negativi;

 

(b) quattro numeri positivi;

 

(c) due numeri positivi e due numeri negativi.

 

VIII) Un'urna contiene 10 palline numerate da 1 a 10.

 

(a) Quanti sono i possibili risultati di tre estrazioni successive con rimpiazzo e considerando l'ordine di estrazione importante?

 

(b) Considerando ogni risultato equiprobabile, calcolare la probabilità:

 

- che i tre numeri estratti siano uguali tra loro;

 

- che i tre numeri estratti siano diversi tra loro.

 

IX) L'urna X contiene 9 palline bianche e 1 nera; l'urna Y contiene 3 palline bianche e 7 nere. Si lancia una moneta equilibrata: se esce testa si estrae una pallina dall'urna X, se esce croce si estrae una pallina dall'urna Y. Calcolare la probabilità che sia uscita testa sapendo che è stata estratta una pallina bianca.

 

X) Si considerino due urne: la prima contenente 2 palline rosse e 8 verdi e la seconda contenente 4 palline rosse e 6 verdi.

 

a) Si estraggono, senza rimpiazzo, due palline dalla prima urna. Si determini la probabilità che la prima pallina sia rossa e che la seconda sia verde.

 

b) Si estrae una pallina dalla prima urna, si inserisce nella seconda e si estrae una pallina dalla seconda urna:

 

- calcolare la probabilità che la pallina estratta dalla seconda urna sia rossa;

 

- sapendo che la pallina estratta dalla seconda urna è rossa, calcolare la probabilità che la pallina estratta dalla prima urna sia verde.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Calcolo delle probabilità su un'urna contenente cinque palline

 

II) Problema d'urna con lancio di una moneta o di un dado a 6 facce

 

III) Calcolare la probabilità condizionata in un problema d'urna

 

IV) Problema d'urna con le formule di Calcolo Combinatorio

 

V) Risolvere un problema d'urna con palline di due colori diversi

 

VI) Problema d'urna con estrazioni con e senza reinserimento

 

VII) Problema di Probabilità con estrazione di 4 palline senza rimpiazzo

 

VIII) Calcolo delle probabilità in un problema d'urna con estrazioni con rimpiazzo

 

IX) Problema d'urna con il teorema di Bayes

 

X) Problema di Probabilità con estrazioni da due urne

 

 

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Tags: esercizi svolti sui problemi d'urna con il Calcolo delle Probabilità e con il Calcolo Combinatorio.