Esercizi sul teorema di Bayes

Gli esercizi sul teorema di Bayes elencati in questa pagina riguardano problemi e applicazioni di Probabilità in cui interviene l'omonima formula. Sono tutti svolti, commentati nei vari passaggi e ordinati per gradi crescenti di difficoltà.

 

La scheda dedicata al teorema di Bayes riguarda l'ultimo argomento trattato nel corso di teoria. Si tratta di una formula per calcolare la probabilità condizionata sostanzialmente invertendo evento condizionato ed evento condizionante. Se vi siete persi la lezione correlata, vi raccomandiamo caldamente di leggerla. ;)

 

A titolo di cronaca, nelle schede successive tireremo le somme di tutto ciò che abbiamo studiato, e passeremo:

 

- ai problemi di riepilogo di Probabilità;

 

- ai problemi d'urna (che riguardano una specifica tipologia di problemi di Probabilità e che spesso coinvolgono anche il Calcolo Combinatorio).

 

Esercizi risolti sulla formula di Bayes

 

I) Si hanno due dadi a sei facce. Il primo è un dado regolare, con le facce numerate da 1 a 6. Il secondo è un dado truccato, con due facce che hanno un solo pallino. Si lancia un dado a caso tra i due e si ottiene una faccia con un pallino. Qual è la probabilità che sia stato lanciato il dado truccato?

 

II) Il 30% degli abitanti di un condominio dichiara di essere soddisfatto, il 70% no. In un'assemblea partecipano il 20% dei soddisfatti e il 60% degli insoddisfatti. Viene scelto un abitante a caso. Siano \Omega l'insieme di tutti gli abitanti del condominio ed E_1,E_2,F i seguenti eventi:

 

E_1 → l'abitante scelto è soddisfatto;

 

E_2 → l'abitante scelto è insoddisfatto;

 

F → l'abitante scelto partecipa all'assemblea.

 

Calcolare:

 

\mathbb{P}(F) \ \ ; \ \ \mathbb{P}(E_1|F) \ \ ; \ \ \mathbb{P}(E_2|F)

 

III) Un pezzo del motore di un'automobile viene costruito assemblando due componenti, X e Y. Il 7% dei componenti di tipo X e il 9% dei componenti di tipo Y sono difettosi, l'uno indipendentemente dall'altro. Il pezzo assemblato risulta difettoso se lo è almeno uno dei suoi componenti. Con che probabilità un pezzo scelto a caso è difettoso? Se un pezzo è difettoso, qual è la probabilità che sia difettoso il componente Y?

 

IV) Una batteria di tipo C è carica con probabilità 0,7 mentre una batteria di tipo D è carica con probabilità 0,4. Si prende a caso una batteria da un cassetto che ne contiene 8 di tipo C e 6 di tipo D.

 

(a) Qual è la probabilità che la batteria sia carica?

 

(b) Sapendo che la batteria non è carica, qual è la probabilità che si tratti di una batteria di tipo C?

 

V) Agli studenti di una classe viene sottoposto un quesito che ha 5 risposte, una sola delle quali è corretta. Se uno studente è preparato è certo che risponderà esattamente. Se invece uno studente è impreparato, la scelta della risposta sarà del tutto casuale. Tra gli studenti della classe, quelli preparati sono il 60%. Si sceglie uno studente a caso. Calcolare:

 

(a) la probabilità che risponda esattamente;

 

(b) la probabilità che sia preparato sapendo che ha risposto esattamente.

 

VI) Andrea non prende mai l'auto se il cielo è sereno, la prende sempre se piove e infine, quando il cielo è nuvoloso, decide se prendere o no l'auto lanciando una moneta regolare. Secondo i dati storici, nella città dove vive Andrea il cielo è sereno con probabilità 0,6, nuvoloso con probabilità 0,3 e piove con probabilità 0,1.

 

(a) Calcolare la probabilità che Andrea prenda l'auto.

 

(b) Se un giorno qualsiasi Andrea è uscito con l'auto, qual è la probabilità che quel giorno il cielo fosse nuvoloso?

 

VII) Si hanno due dadi a sei facce: il primo è equilibrato, mentre il secondo è truccato in modo che la probabilità di ottenere una faccia pari sia pari a 1/9 e la probabilità di ottenere una faccia dispari sia uguale a 2/9.

 

Si consideri l'esperimento casuale che consiste nel lanciare una moneta regolare. Se esce croce si lancia il dado equilibrato, se esce testa si lancia il dado truccato.

 

(a) Calcolare la probabilità che esca una faccia dispari.

 

(b) Sapendo che è uscita una faccia dispari, qual è la probabilità che sia stato lanciato il dado truccato?

 

VIII) In un laboratorio di analisi l'esame del sangue è efficace al 96% nell'individuare una certa malattia quando essa è presente nell'organismo. Tuttavia l'esame rileva anche dei falsi positivi nell'1% delle persone sane che si sottopongono al test. Se lo 0,5% della popolazione soffre della malattia, qual è la probabilità cha una persona abbia effettivamente la malattia se il test è positivo?

 

IX) Si hanno 3 carte identiche per forma. Tuttavia la prima ha entrambe le facce colorate di rosso, la seconda ha entrambe le facce colorate di nero e la terza ha una faccia rossa e l'altra nera. Le 3 carte sono mescolate e inserite in una scatola. Si estrae una carta a caso e la si poggia sul tavolo. Se la parte superiore della carta estratta è rossa, qual è la probabilità che l'altra parte sia nera?

 

X) L'urna A contiene 2 palline bianche e 1 pallina nera mentre l'urna B contiene 1 pallina bianca e 5 palline nere. Viene scelta a caso una pallina dall'urna A e viene messa nell'urna B. Successivamente si estrae una pallina dall'urna B. Sapendo che si tratta di una pallina bianca, qual è la probabilità che la pallina trasferita fosse bianca?

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Probabilità condizionata con un dado truccato da calcolare con Bayes

 

II) Esercizio di probabilità sul teorema di Bayes

 

III) Problema di probabilità con Bayes

 

IV) Problema svolto sul teorema di Bayes

 

V) Problema di probabilità da risolvere con la formula di Bayes

 

VI) Probabilità di prendere l'auto con il cielo nuvoloso (esercizio su Bayes)

 

VII) Esercizio sul teorema di Bayes con due dadi e lancio di una moneta

 

VIII) Problema di probabilità con la formula Bayes

 

IX) Applicazione del teorema di Bayes in un problema di probabilità

 

X) Trasferimento di una pallina tra due urne (problema sul teorema di Bayes)

 

 

Lezione correlata

 
 

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