Esercizi su eventi dipendenti e indipendenti

Benvenuti nella scheda di esercizi su eventi indipendenti ed eventi dipendenti. Gli esercizi elencati qui di seguito sono interamente risolti, spiegati passo-passo e ordinati dal più semplice al più impegnativo.

 

Un breve riepilogo. Nelle precedenti schede abbiamo trattato alcuni dei teoremi e delle definizioni che permettono di risolvere le applicazioni di Calcolo delle Probabilità, e in particolare:

 

- gli esercizi sulla probabilità totale

 

- gli esercizi sulla probabilità condizionata

 

- gli esercizi sulla probabilità composta

 

Il tassello successivo è dato dalla nozione di eventi indipendenti e dipendenti, che mette in relazione la probabilità dell'intersezione con la probabilità del prodotto. Avete già letto la lezione di teoria? In caso affermativo potete passare alla risoluzione degli esercizi. ;)

 

Esercizi risolti su eventi indipendenti e su eventi dipendenti

 

I) Si consideri l'esperimento casuale che consiste nell'estrazione di una carta da un mazzo ordinario di 52 carte. Stabilire se gli eventi:

 

E → si estrae un asso

 

F → si estrae una carta di picche

 

sono dipendenti oppure indipendenti, giustificando la risposta.

 

II) Siano E,F due eventi indipendenti di uno spazio campionario, con \mathbb{P}(E)=0,5 e \mathbb{P}(F)=0,4. Calcolare \mathbb{P}(E \cup F).

 

III) Da un'urna contenente tredici palline numerate da 1 a 13 si estrae una pallina. Siano E,F i seguenti eventi:

 

E → si estrae una pallina con un numero divisibile per 2;

 

F → si estrae una pallina con un numero divisibile per 5.

 

Verificare che i due eventi sono dipendenti e calcolare la probabilità dell'evento E \cup F.

 

IV) Un impianto elettrico può manifestare due tipi di anomalie, indicate con 1 e 2, con probabilità pari a 0,02 e 0,05 rispettivamente. Supponendo che tali anomalie siano tra loro indipendenti, si calcoli la probabilità che:

 

(a) si verifichi almeno un'anomalia;

 

(b) l'impianto manifesti l'anomalia di tipo 2 sapendo che si sono verificate delle anomalie.

 

V) Due arcieri partecipano a una gara di tiro con l'arco. Supponendo che le probabilità di centrare il bersaglio siano 0,8 per il primo arciere e 0,6 per il secondo, e che i due arcieri eseguano i tiri l'uno indipendentemente dall'altro, si calcoli:

 

(a) la probabilità che entrambi gli arcieri centrino il bersaglio;

 

(b) la probabilità che nessuno dei due arcieri centri il bersaglio.

 

VI) Si deve riempire un'urna con palline rosse e nere, alcune lucide e altre opache. Nell'urna ci sono già 10 palline rosse lucide, 6 nere lucide e 5 rosse opache.

 

Quante palline nere opache si devono aggiungere affinché, estraendo una pallina a caso dall'urna, colore e superficie siano indipendenti?

 

VII) Siano E,F \subseteq \Omega due eventi indipendenti. Dimostrare che E^C, F^C sono, anch'essi, eventi indipendenti.

 

VIII) Siano E,F \subseteq \Omega due eventi che hanno probabilità positive. Dire se ciascuno degli asserti che seguono è vero oppure è falso.

 

(a) Se E,F sono mutuamente esclusivi, allora sono indipendenti.

 

(b) Se E,F sono indipendenti, allora sono mutuamente esclusivi.

 

(c) \mathbb{P}(E)=\mathbb{P}(F)=0,6 ed E,F sono mutuamente esclusivi.

 

IX) Siano E,F,G \subseteq \Omega tre eventi tali che E è indipendente da F, E è indipendente da G e F \cap G = \emptyset. Dimostrare che E è indipendente da F \cup G.

 

X) Si lancino due dadi non truccati a sei facce. Siano:

 

E l'evento "la somma dei dadi è 7";

 

F l'evento "il primo dado dà 4";

 

G l'evento "il secondo dado dà 3".

 

Verificare che E,F,G sono indipendenti a due a due ma che non sono reciprocamente indipendenti.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Stabilire se due eventi sono dipendenti oppure indipendenti

 

II) Probabilità dell'unione di due eventi indipendenti

 

III) Esercizio sulla probabilità di eventi dipendenti

 

IV) Probabilità condizionata di eventi indipendenti

 

V) Probabilità dell'intersezione e del complementare dell'unione di eventi indipendenti

 

VI) Palline da aggiungere in un'urna per formare eventi indipendenti

 

VII) Dimostrare l'indipendenza tra i complementari di due eventi

 

VIII) Vero o falso sulle relazioni tra eventi mutuamente esclusivi ed eventi indipendenti

 

IX) Esercizio teorico sull'indipendenza tra eventi

 

X) Studio dell'indipendenza di tre eventi

 

 

Lezione correlata

 
 

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