Esercizi sulle operazioni tra eventi

State consultando la scheda di esercizi sulle operazioni tra eventi in Probabilità. Tutti gli esercizi proposti qui di seguito sono risolti e spiegati in ogni passaggio; gli svolgimenti includono anche tutti i riferimenti di teoria necessari per la risoluzione.

 

Prima di affrontare le tracce relative alle operazioni tra eventi è fondamentale aver digerito il concetto di evento in Probabilità e aver risolto gli esercizi sugli eventi.

 

Fatto ciò, si può passare allo studio delle operazioni tra eventi e procedere con le tracce presenti in questa scheda. Per ogni eventualità vi rimandiamo alla lezione dell'omonimo link. ;)

 

Esercizi risolti sulle operazioni tra eventi

 

Da tenere a mente: le operazioni tra eventi non sono altro che le operazioni insiemistiche riviste in un altro contesto. ;)

 

I) Dati gli eventi E_1,E_2 \subseteq \Omega esprimere gli eventi che seguono sotto forma di intersezione e di unione di E_1,E_2:

 

(a) si verifica almeno uno dei due;

 

(b) non si verifica nessuno dei due;

 

(c) si verificano tutti e due;

 

(d) si verifica solo uno dei due.

 

II) A una lezione universitaria partecipano studenti iscritti al vecchio ordinamento, al corso di laurea triennale oppure al corso di laurea magistrale. Si sceglie a caso uno studente tra quelli presenti in aula durante la lezione. Si considerino gli eventi:

 

T → lo studente è iscritto al corso di laurea triennale;

 

M → lo studente è iscritto al corso di laurea magistrale;

 

V → lo studente è iscritto al vecchio ordinamento;

 

L → lo studente è nato a Lecce;

 

B → lo studente è tifoso del Bari;

 

U → lo studente è uomo.

 

Definire un opportuno spazio campionario \Omega, descrivere i seguenti eventi

 

M \cap U \ \ ; \ \ U \cap V^C \ \ ; \ \ B \cap L \ \ ; \ \ (M \cup V)^C \ \ ; \ \ M^C

 

e dire se la seguente relazione è vera oppure no

 

L=(L \cap T) \cup (L \cap M) \cup (L \cap V)

 

III) Nel lancio di un dado a sei facce si consideri come spazio campionario l'insieme

 

\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}

 

e siano E_1, E_2, E_3 i seguenti eventi:

 

\\ E_1=\{1,2\} \\ \\ E_2=\{3,4,5\} \\ \\ E_3=\{1,3,6\}

 

Si determinino gli eventi unione

 

\\ E_1 \cup E_2 \ \ ; \ \ E_1 \cup E_3 \\ \\ E_2 \cup E_3 \ \ ; \ \ E_1 \cup E_2 \cup E_3

 

IV) Si lancia per due volte una moneta a due facce (testa e croce). Detti:

 

E_1 l'evento "il primo lancio ha dato testa",

 

E_2 l'evento "il secondo lancio ha dato croce",

 

E_3 l'evento "entrambi i lanci hanno dato testa",

 

si determinino gli eventi

 

E_1 \cap E_2 \ \ ; \ \ E_1 \cap E_3 \ \ ; \ \ E_1 \cap E_2 \cap E_3

 

V) Nell'esperimento casuale dato dal lancio di due dadi a sei facce consideriamo gli eventi E_1, E_2 così definiti:

 

E_1 → la somma dei risultati è minore di 9;

 

E_2 → la somma dei risultati è maggiore di 4.

 

Determinare gli eventi

 

E_1^C \cup E_2^C \ \ ; \ \ \left(E_1 \cup E_2\right)^C

 

VI) Un'urna contiene tre palline nere contrassegnate con n_1,n_2,n_3 e due palline bianche contrassegnate con b_1,b_2. Vengono estratte due palline con reinserimento. Siano E_1 l'evento "la prima pallina estratta è nera" ed E_2 l'evento "la seconda pallina estratta è nera".

 

Si descriva un appropriato spazio campionario e si mostrino gli eventi

 

E_1^C \cap E_2^C \ \ ; \ \ \left(E_1 \cap E_2\right)^C

 

VII) Si lanciano in successione una moneta non truccata e un dado regolare a sei facce. Dopo aver descritto un opportuno spazio campionario si esprimano in forma esplicita gli eventi

 

E_1 → si presentano testa e un numero pari,

 

E_2 → si presenta un numero primo,

 

E_3 → si presentano croce e un numero primo,

 

e si determini l'evento E_2 - (E_1 \cup E_3).

 

VIII) Si lanciano due dadi regolari a sei facce e si considerano i seguenti eventi:

 

E_1 → la somma dei dadi è un numero dispari;

 

E_2 → almeno uno dei dadi mostra la faccia con un pallino;

 

E_3 → la somma dei dadi è uguale a 5.

 

Si descrivano gli eventi:

 

\\ E_1 \cap E_2 \ \ ; \ \ E_1 \cup E_2 \ \ ; \ \ E_2 \cap E_3 \\ \\ E_1 \cap E_2^C \ \ ; \ \ E_1 \cap E_2 \cap E_3

 

IX) Si consideri l'esperimento casuale che consiste nell'estrazione di una biglia da un'urna che contiene dieci biglie numerate da 1 a 10, e sia

 

\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}

 

lo spazio campionario associato a questo esperimento.

 

Si dimostri che gli eventi

 

E_1 → si estrae la biglia numero 1;

 

E_2 → si estrae una biglia con un numero primo maggiore di 2;

 

E_3 → si estrae una biglia con un numero pari;

 

E_4 → si estrae la biglia numero 9;

 

formano una partizione di \Omega.

 

X) Un bar offre menù con tre piatti. Si può scegliere:

 

- un primo tra pasta o riso;

 

- un secondo tra petto di pollo, pesce spada o manzo;

 

- un dolce tra gelato, torta di mele, tiramisù o panna cotta.

 

Una persona deve scegliere un piatto di ogni categoria.

 

(a) Definire un opportuno spazio campionario e calcolare il numero dei suoi elementi;

 

(b) Si elenchino tutti gli esiti contenuti negli eventi intersezione E_1 \cap E_2 ed E_1 \cap E_2 \cap E_3, dove:

 

E_1 è l'evento "si sceglie il gelato";

 

E_2 è l'evento "si sceglie il riso";

 

E_3 è l'evento "si sceglie il petto di pollo".

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Esprimere un evento come unione e intersezione di altri eventi

 

II) Eventi espressi come unione, intersezione e negazione di altri

 

III) Calcolare l'unione di due e di tre eventi

 

IV) Determinare l'intersezione di due e di tre eventi

 

V) Unione dei complementari e complementare dell'unione di due eventi

 

VI) Intersezione tra i complementari e complementare dell'intersezione di due eventi

 

VII) Differenza tra un evento e l'unione di altri due

 

VIII) Esercizio sulle operazioni tra più eventi in Probabilità

 

IX) Dimostrare che più eventi formano una partizione di uno spazio campionario

 

X) Esercizio sull'algebra degli eventi

 

 

Lezione correlata

 
 

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