Esercizi sulle combinazioni

Questa raccolta mette a vostra disposizione una serie di esercizi sulle combinazioni. Tutti gli esercizi sono risolti, elencati in ordine crescente di difficoltà e corredati da svolgimenti completi.

 

Dopo le permutazioni e le disposizioni, la terza e ultima nozione fondamentale del Calcolo Combinatorio è data dalle combinazioni. Anche in questo caso vige l'usuale distinzione, e possiamo distinguere tra:

 

- combinazioni semplici

 

- combinazioni con ripetizione

 

Casomai non l'abbiate già fatto, prima di cimentarvi con le tracce vi raccomandiamo un ripasso delle definizioni e delle formule relative ai vari tipi di combinazioni. Gli esempi proposti nelle rispettive lezioni sono molto utili per capire come distinguere tra combinazioni semplici e con ripetizione. ;)

 

Esercizi risolti su combinazioni semplici e con ripetizione

 

Attenzione: l'aspetto delicato dei seguenti esercizi non riguarda la corretta applicazione della formula, bensì capire quale formula applicare. In altri termini: capire a quale tipo di combinazione va ricondotta la traccia.

 

I) Elencare tutte le combinazioni semplici di classe 3 degli elementi dell'insieme

 

A=\{x \ | \ x \ \grave{\mbox{e}} \mbox{ una consonante della parola STRADA}\}

 

e verificare il numero con la formula delle combinazioni semplici.

 

II) Verificare la seguente identità

 

C_{8,4}+2\cdot C_{8,2} = C_{9,4}

 

III) Calcolare il valore di n \in \mathbb{N} che soddisfa l'uguaglianza

 

C_{n,7}=\frac{13}{6} \cdot C_{n-1,5}

 

IV) Calcolare la cardinalità di un insieme finito sapendo che il numero di combinazioni semplici di classe 3 dei suoi elementi è uguale ai 4/7 di quello delle combinazioni semplici di classe 4.

 

V) Nel gioco della Briscola ogni giocatore riceve 3 carte da un mazzo di 40. In quanti modi diversi si possono ricevere?

 

VI) Un negoziante vuole esporre in una vetrina 5 macchinine scelte tra le 12 di diverso tipo che ha in negozio. In quanti modi può effettuare la scelta?

 

VII) Su un foglio sono stati segnati 6 punti in modo che tra di essi non vi siano terne di punti allineati. Quanti triangoli si possono disegnare scegliendo come vertici i punti dati?

 

VIII) In un mazzo da 48 carte, formato da 4 semi e da 12 carte per ciascun seme, si estraggono 3 carte l'una dopo l'altra e senza rimettere le carte estratte nel mazzo. Determinare in quanti modi si possono ottenere 3 carte dello stesso seme.

 

IX) Quanti ambi, terni, quaterne e cinquine si possono formare con i novanta numeri del gioco del Lotto?

 

X) In un'estrazione del gioco del Lotto sono stati estratti i numeri 6, 28, 23, 11, 86. Quanti sono gli ambi e i terni vincenti?

 

XI) Nello stesso momento si lanciano cinque dadi a sei facce tra loro identici. Quanti sono i possibili esiti?

 

XII) Un gelataio propone 7 diversi gusti di gelato e voglio una coppetta con 3 gusti. Quante varianti di coppette posso avere se i gusti non possono ripetersi? E se invece posso ripetere più volte uno stesso gusto?

 

XIII) Si mescolano 10 carte diverse tra loro e se ne distribuiscono prima 3 al giocatore A e poi 3 al giocatore B. In quanti modi diversi può avvenire la distribuzione?

 

XIV) In una classe di 20 studenti si devono formare una squadra di calcio e una di pallacanestro. In quanti modi diversi si possono formare le due squadre se nessuno studente può appartenere a entrambe?

 

XV) Un'urna contiene 20 biglie numerate, di cui 8 verdi, 7 rosse e 5 bianche. Se ne estraggono 9 in blocco. Quanti sono i raggruppamenti con tre biglie per ciascun colore?

 

XVI) Uno studente vuole vendere 2 libri da una collezione di 6 testi di Matematica, 7 di Scienze e 4 di Economia. Quante sono le scelte possibili se i 2 libri devono essere sullo stesso argomento?

 

XVII) Si deve scegliere un comitato di 6 persone da un gruppo di 7 uomini e 8 donne. Quanti sono i comitati con almeno 2 uomini e 3 donne?

 

XVIII) In quanti modi uno studente può scegliere cinque materie per il proprio piano di studio, avendo a disposizione cinque materie informatiche e quattro matematiche, ed essendo vincolato a scegliere almeno due materie informatiche e una matematica?

 

XIX) Una persona ha 8 amici e decide di invitarne 5 a cena.

 

(a) In quanti modi può effettuare la scelta?

 

(b) In quanti modi può farlo se 2 amici non vanno d'accordo e non vogliono trovarsi insieme?

 

(c) In quanti modi può farlo se c'è una coppia di amici che non può essere separata?

 

XX) In quanti modi è possibile distribuire sette tavolette di cioccolato identiche a otto bambini, supponendo che ogni bambino possa ricevere anche più di una tavoletta?

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Esercizio sul calcolo delle combinazioni 

 

II) Verificare un'uguaglianza sul numero di combinazioni semplici

 

III) Determinare il valore di n da un'uguaglianza tra combinazioni semplici

 

IV) Cardinalità di un insieme e combinazioni dei suoi elementi

 

V) Modi di ricevere le carte nel gioco della briscola

 

VI) Scelta di macchinine per l'esposizione in una vetrina

 

VII) Numero di triangoli che si possono formare con sei punti

 

VIII) Esercizio sulle combinazioni con mazzo da 48 carte

 

IX) Ambi, terni, quaterne e cinquine nel gioco del Lotto

 

X) Ambi e terni vincenti tra cinque numeri nel gioco del Lotto

 

XI) Esiti possibili nel lancio contemporaneo di cinque dadi a sei facce 

 

XII) Varianti di coppette gelato con tre gusti su sette

 

XIII) Distribuzione di tre carte a due giocatori da un mazzo di dieci carte

 

XIV) Possibili modi di formare una squadra di calcio e una di pallacanestro

 

XV) Esercizio di Calcolo Combinatorio con biglie di tre colori

 

XVI) Vendita di 2 libri da una collezione di 17 libri di 3 materie diverse

 

XVII) Formazione di un comitato in un problema sulle combinazioni

 

XVIII) Modi di scegliere cinque materie con vincoli di scelta

 

XIX) Inviti a cena di cinque amici su otto

 

XX) Distribuzione di sette tavolette di cioccolato a otto bambini

 

 

Lezione correlata

 
 

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