Esercizi sulle disposizioni

Questa scheda di esercizi sulle disposizioni propone una raccolta di tracce ordinate per livelli di difficoltà crescente, interamente risolte e commentate nel dettaglio.

 

Le disposizioni si riferiscono alla seconda nozione fondamentale del corso di Calcolo Combinatorio: il primo è dato dalle permutazioni, il terzo dalle combinazioni. Nella fattispecie si classificano in:

 

- disposizioni semplici

 

- disposizioni con ripetizione

 

Prima di procedere con gli esercizi vi raccomandiamo di leggere le lezioni correlate, in cui forniamo le definizioni, le formule e svariati esempi per comprendere a fondo la differenza tra le due tipologie di disposizioni.

 

Esercizi risolti su disposizioni semplici e con ripetizione

 

Il punto cruciale dei problemi sulle disposizioni riguarda l'interpretazione del problema: quando abbiamo a che fare con una disposizione? E se questo fosse il caso, come capire se si tratta di una disposizione semplice o con ripetizione?

 

Le seguenti tracce sono state selezionate proprio per mettere in evidenza la differenza tra le due tipologie di disposizioni, per cui vi raccomandiamo di provare a risolverle autonomamente e di confrontare i vostri svolgimenti con quelli proposti.

 

I) Scrivere tutte le disposizioni di classe 2 degli elementi dell'insieme A=\{a,b,c,d\}. Quante sono? Verificare il risultato applicando la formula per il numero di disposizioni.

 

II) Stabilire se esiste un insieme tale che le disposizioni semplici di classe 2 dei suoi elementi siano 15.

 

III) Verificare la seguente identità con disposizioni semplici

 

D_{5,3}-D_{15,2}=-5 \cdot D_{6,2}

 

IV) Il numero di disposizioni semplici di classe 5 degli elementi di un insieme A è uguale al numero di disposizioni semplici di classe 4. Quanti sono gli elementi di A?

 

V) Calcolare la cardinalità di un insieme finito di cui è noto che il numero di disposizioni con ripetizione di classe 4 dei suoi elementi è uguale a 4096.

 

VI) Calcolare il valore di n \in \mathbb{N}-\{0\} sapendo che

 

D'_{n,3}=\frac{9}{5} \cdot D_{n,3}

 

VII) Quante parole di 5 lettere, anche prive di significato, si possono formare utilizzando le lettere della parola COMPUTER? E se viene richiesto che le 5 lettere siano diverse tra loro?

 

VIII) Si hanno 5 bandiere di colori differenti. Quanti diversi segnali si possono fare usando contemporaneamente 3 bandiere?

 

IX) Un dado a sei facce viene lanciato 4 volte consecutive. Quanti sono i possibili esiti? (Diciamo ad esempio che l'esito è 1,2,3,4 se il primo lancio dà 1, il secondo dà 2, il terzo dà 3 e il quarto dà 4).

 

X) Da un mazzo di carte napoletane si selezionano le figure, le si mescolano e si scoprono le prime 5. In quanti modi diversi possono susseguirsi le 5 carte?

 

XI) Un'associazione è formata da 50 persone. Tra queste devono essere scelti un presidente, un vicepresidente e un segretario. Quanti sono i modi per ricoprire le tre cariche, sapendo che la stessa persona non può ricoprire più di una carica?

 

XII) Si vogliono dipingere le sei lettere di un'insegna scegliendo per ciascuna lettera un colore tra blu, verde e giallo. In quanti modi si può fare?

 

XIII) Quanti sono i numeri naturali di cinque cifre?

 

XIV) Quante bandiere a 3 strisce verticali di colore diverso si possono formare con i colori giallo, verde, rosso e blu? E se è consentito ripetere i colori fino a ottenere bandiere monocolore?

 

XV) Tra tutti i numeri naturali di tre cifre, tutte dispari e diverse tra loro, quanti sono i multipli di 5?

 

XVI) Un libraio dispone di una vetrina con tre scomparti per esporre le novità: il primo è riservato ai romanzi, il secondo ai libri scientifici e il terzo ai libri di attualità. In ogni scomparto vuole esporre 3 libri. Tra le ultime novità vi sono 8 romanzi, 4 libri scientifici e 6 di attualità. In quanti modi può allestire la vetrina tenendo conto dell'ordine con cui i libri sono disposti?

 

XVII) Il direttore di un grande magazzino decide di contrassegnare ogni articolo in vendita con un codice alfanumerico di quattro caratteri. Stabilire qual è il numero massimo di articoli che si possono etichettare se:

 

(a) non vi sono limitazioni sulle scelte di lettere e numeri;

 

(b) i primi due caratteri devono essere lettere e gli altri due numeri.

 

XVIII) Quante sono le targhe formate da sette simboli, di cui le prime due sono lettere e le restanti cinque sono numeri? Cosa cambia se sia le lettere che i numeri non possono ripetersi?

 

XIX) Si vogliono distribuire 4 diversi regali a 7 bambini. Quante sono le distribuzioni possibili?

 

XX) Dati gli insiemi

 

\\ A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\} \\ \\ B=\{b_1,b_2\}

 

quante sono le funzioni suriettive da A in B?

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Scrivere le disposizioni di classe 2 di 4 elementi 

 

II) Quesito sull'esistenza di un insieme conoscendo il numero di disposizioni semplici

 

III) Verifica di un'uguaglianza con disposizioni semplici

 

IV) Numero di elementi di un insieme dal numero di disposizioni semplici

 

V) Cardinalità di un insieme dal numero di disposizioni con ripetizione

 

VI) Calcolare il valore di n da una relazione tra disposizioni semplici e con ripetizione

 

VII) Numero di parole che si possono formare con alcune lettere di una parola

 

VIII) Numero di segnali realizzabili con 3 bandiere scelte tra 5 di colori diversi

 

IX) Esiti in quattro lanci consecutivi di un dado

 

X) Estrazione di cinque carte da un mazzo

 

XI) Possibili scelte di presidente, vicepresidente e segretario tra 50 persone

 

XII) Modi di colorare un'insegna di sei lettere con tre colori

 

XIII) Numeri di cinque cifre in un quesito sulle disposizioni

 

XIV) Numero di bandiere a tre strisce verticali con quattro colori diversi

 

XV) Numeri multipli di 5 formati da tre cifre dispari diverse

 

XVI) Possibili modi di allestire una vetrina con tre scomparti

 

XVII) Numero massimo di articoli da etichettare in un problema sulle disposizioni

 

XVIII) Calcolare il numero di targhe con sette simboli

 

XIX) Distribuzione di quattro regali diversi a sette bambini

 

XX) Numero di funzioni suriettive tra due insiemi

 

 

Lezione correlata

 
 

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