Esercizi sul coefficiente binomiale

State consultando la scheda di esercizi sul coefficiente binomiale. Le tracce elencate qui di seguito sono interamente risolte e commentate nel dettaglio, senza tralasciare alcun passaggio.

 

Esattamente come nel caso degli esercizi sul fattoriale, anche gli esercizi di questa scheda sono propedeutici per la teoria e per le applicazioni di Calcolo Combinatorio e di Calcolo delle Probabilità, dunque vi raccomandiamo di non sottovalutarli. ;)

 

Per un ripasso completo sulla definizione e sulle principali proprietà del coefficiente binomiale, nonché per leggere alcuni esempi di riferimento, vi rimandiamo alla lezione del link.

 

Esercizi risolti sul coefficiente binomiale

 

La scheda si compone di esercizi di vario tipo, ordinati per difficoltà. Da una parte, applicazioni sul calcolo diretto e sulla semplificazione di espressioni con coefficienti binomiali; dall'altro identità, equazioni e disequazioni che coinvolgono anche le proprietà del coefficiente binomiale.

 

I) Calcolare i valori dei coefficienti binomiali

 

\dbinom{6}{3} \ \ \ ; \ \ \ \dbinom{22}{19} \ \ \ ; \ \ \ \dbinom{5}{12}

 

II) Risolvere l'espressione con coefficienti binomiali

 

\dbinom{5}{3} + \dbinom{5}{7} \cdot \dbinom{6}{2} + \dbinom{7}{4} - \dbinom{8}{6}

 

III) Calcolare il valore della seguente espressione con coefficienti binomiali e fattoriali

 

5! - \left\{2!\left[\dbinom{6}{3}+\dbinom{5}{2}+3!\dbinom{7}{6}\right]\right\} : \dbinom{6}{5}

 

IV) Verificare l'identità con coefficienti binomiali che segue

 

\dbinom{n}{2}=(n-1)^2-\dbinom{n-1}{2} \ \ \forall n \in \mathbb{N}, \ n \ge 1

 

V) Dimostrare che per ogni n\in\mathbb{N}-\{0\} e per ogni k\in\mathbb{N} tale che 0\le k\le n-1, sussiste l'identità

 

\dbinom{n}{k+1}=\dbinom{n}{k}\frac{n-k}{k+1}

 

VI) Dimostrare la seguente formula sulla somma dei coefficienti binomiali

 

\dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k-1}=\dbinom{n+1}{k} \ \ \forall n,k \in \mathbb{N}, \ 1 \le k \le n

 

VII) Calcolare le soluzioni dell'equazione con coefficienti binomiali

 

\dbinom{x}{2}=\dbinom{x+1}{3} \ \ \mbox{ con } x \in \mathbb{N}

 

VIII) Determinare per quali valori di x \in \mathbb{N} è soddisfatta la seguente equazione con coefficienti binomiali

 

\dbinom{x}{4}+2\dbinom{x}{2}=\dbinom{x+1}{4}

 

IX) Stabilire per quali valori di x \in \mathbb{N} è soddisfatta la disequazione con coefficienti binomiali

 

\dbinom{x}{5}>\dbinom{x}{3}

 

X) Determinare quali valori di x \in \mathbb{N} soddisfano la seguente disequazione con coefficienti binomiali

 

\dbinom{x}{x-2}>2x

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Calcolare tre coefficienti binomiali

 

II) Espressione con coefficienti binomiali

 

III) Risolvere un'espressione con coefficienti binomiali e fattoriali

 

IV) Verificare un'identità con coefficienti binomiali

 

V) Dimostrare una proprietà del coefficiente binomiale

 

VI) Dimostrazione di una formula del coefficiente binomiale

 

VII) Soluzioni di un'equazione con coefficienti binomiali

 

VIII) Equazione con coefficiente binomiale

 

IX) Disequazione tra coefficienti binomiali

 

X) Disequazione con coefficiente binomiale e incognita in entrambi i termini

 

 

Lezione correlata

 
 

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