Problemi svolti sul teorema di Pitagora

State consultando la scheda di problemi sul teorema di Pitagora. Tutti gli esercizi sono svolti e spiegati fino all'ultimo calcolo, e sono ordinati per difficoltà crescente. Si rivolgono sia agli studenti di Scuola Media, sia agli studenti delle Scuole Superiori che vogliono ripassare.

Per risolvere le tracce è necessario saper applicare il teorema di Pitagora, e non solo. Sono anche richieste le definizioni, le formule e le proprietà delle figure che abbiamo studiato fin qui nel corso di Geometria Piana, oltre ad alcune nozioni basilari di Aritmetica.

Attenzione dunque: non solo triangoli rettangoli ma anche triangoli in generale e quadrilateri, tra cui in particolare quadrato, rombo, parallelogramma, rettangolo e trapezio.

Indice

  1. Problemi risolti sul teorema di Pitagora
  2. Svolgimenti e soluzioni

Problemi risolti sul teorema di Pitagora

I primi tre sono esercizi teorici; tutti gli altri sono problemi classici di Geometria Piana in cui prima o dopo bisogna applicare il teorema di Pitagora.

  1. Siano a,b le misure dei cateti di un triangolo rettangolo e c la misura dell'ipotenusa. Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali sono false, giustificando le tue risposte.

    (1) c^2 = a^2+b^2 ; (2) a^2 = c^2+b^2 ; (3) b^2 = a^2−c^2 ; (4) c^2 = √(a^2−b^2) ; (5) b = √(c^2−a^2) ; (6) a^2 = √(c^2−b^2)

  2. (1) Il quadrato costruito sull'... di un triangolo rettangolo è equivalente alla ... dei quadrati costruiti sui ...

    (2) Il quadrato costruito sul cateto di un ... è equivalente alla ... tra il quadrato costruito ... e il quadrato costruito ...

    (3) La misura dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo si ottiene estraendo la radice quadrata della somma dei ... delle misure dei ...

    (4) In un ... per ottenere la misura di un cateto si estrae la ... della differenza tra il quadrato della misura ... e il quadrato della ... dell'altro cateto.

  3. I seguenti numeri rappresentano le lunghezze dei lati di un triangolo. Stabilisci quali possono riferirsi ai lati di un triangolo rettangolo:

    (1) 18 cm, 30 cm e 24 cm

    (2) 23 cm, 35 cm e 16 cm

    (3) 24 cm, 26 cm e 10 cm

    (4) 3,5 cm, 12 cm e 14,5 cm

  4. Due segmenti consecutivi AB,AC hanno l'estremo A in comune e sono tali che BAC è un angolo acuto. Siano C' il simmetrico del punto C rispetto al segmento AB e H il punto di intersezione tra i segmenti AB e CC'.

    Rappresenta la situazione con un disegno e calcola la lunghezza del segmento CC' sapendo che AC e AH misurano 17 cm e 15 cm rispettivamente.

  5. Disegna una retta r e un segmento AB incidenti in un punto P. Trova le proiezioni ortogonali dei punti A, B sulla retta r e chiamale A',B'. Calcola la lunghezza del segmento AB sapendo che i segmenti A'P e B'P misurano rispettivamente 12 cm e 24 cm, e che i segmenti AA' e BB' misurano rispettivamente 5 cm e 10 cm.

  6. I cateti di un triangolo rettangolo misurano 6,4 cm e 4,8 cm. Calcola:

    (a) il perimetro del triangolo;

    (b) l'area del triangolo;

    (c) la misura dell'altezza relativa all'ipotenusa;

    (d) le misure delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

  7. Il perimetro di un triangolo isoscele è di 64 cm e la base misura 24 cm. Calcolare l'area del triangolo.
  8. Disegna un rettangolo di vertici A,B,C,D e base AB. Trova il punto medio E di AB e traccia i segmenti EC ed ED. Calcola l'area dei tre triangoli che si sono venuti a formare sapendo che AB è di 10 cm e che i segmenti EC, ED misurano 13 cm.

  9. Disegna un rettangolo di base AB e diagonale AC, di cui è noto che base e altezza misurano rispettivamente 60 e 45 metri. Supponi che sia una piazza.

    Paolo deve recarsi dal punto A al punto C di questa piazza. Se anziché passeggiare sotto i portici, che sono lungo i lati AB e BC, attraversa la piazza lungo la diagonale AC, quanti passi risparmia sapendo che un suo passo è lungo 75 cm?

  10. Le diagonali di un quadrilatero convesso sono perpendicolari tra loro e la minore misura 8,8 cm. Fai uno schizzo e calcola l'area e il perimetro del quadrilatero sapendo che il punto d'incontro delle diagonali divide la minore in due parti congruenti e la maggiore in due parti che misurano 3,3 cm e 11,7 cm.
  11. Un rombo e un quadrato hanno lo stesso perimetro. Calcola l'area del rombo sapendo che l'area del quadrato è di 289 dm2 e che la diagonale minore del rombo misura 16 dm.
  12. Il perimetro di un rombo è di 21,2 cm e la diagonale maggiore misura 9 cm. Calcola il perimetro di un triangolo rettangolo che ha la stessa area del rombo sapendo che il cateto minore misura 7 cm. Laddove necessario, approssima i risultati all'unità.
  13. Il perimetro di un parallelogramma è 100 cm e la differenza tra due lati consecutivi è di 8 cm. Calcola il perimetro di un triangolo isoscele avente il lato obliquo e l'altezza relativa alla base congruenti rispettivamente al lato maggiore e al lato minore del parallelogramma.
  14. Un trapezio isoscele resta diviso dalle due altezze in un quadrato e in due triangoli rettangoli, con il cateto coincidente con l'altezza pari agli 8/15 dell'altro cateto. La diagonale del quadrato misura 40√2 cm. Calcola il perimetro e l'area del trapezio.
  15. Il quadrilatero convesso di vertici A,B,C,D è formato dal triangolo isoscele ABD di base BD e dal triangolo rettangolo BCD di ipotenusa CD. Disegnalo e calcola il perimetro e l'area del quadrilatero sapendo che AB misura 25 cm, BC è di 30 cm e CD è di 50 cm.

Svolgimenti e soluzioni

  1. Affermazioni vere o false sul teorema di Pitagora
  2. Frasi da completare sul teorema di Pitagora
  3. Stabilire se un triangolo è rettangolo dalle misure dei lati
  4. Lunghezza di un segmento con punto simmetrico
  5. Lunghezza di un segmento dalla sua proiezione su una retta con Pitagora
  6. Triangolo rettangolo, problema di riepilogo su Pitagora con varie richieste
  7. Area di un triangolo isoscele con il teorema di Pitagora
  8. Problema su Pitagora sul calcolo delle aree dei triangoli in un rettangolo
  9. Problema sul teorema di Pitagora con piazza rettangolare
  10. Area e perimetro di un quadrilatero con le diagonali perpendicolari
  11. Problema da risolvere con Pitagora con quadrato e rombo con lo stesso perimetro
  12. Problema su rombo e triangolo rettangolo con Pitagora
  13. Problema sul teorema di Pitagora con parallelogramma e triangolo isoscele
  14. Problema sul trapezio isoscele con Pitagora
  15. Area e perimetro di un quadrilatero in un problema con il teorema di Pitagora

Buon lavoro!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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