Esercizi su esponenziale complesso e logaritmo complesso

Qui di seguito potete consultare una raccolta di esercizi svolti su esponenziale complesso e logaritmo complesso, oggetto di studio solamente nei corsi di Analisi Matematica 1 delle facoltà universitarie di Matematica, Fisica e Ingegneria e nei corsi avanzati di Analisi Complessa.

Tutti gli studenti delle altre facoltà universitarie (e ovviamente gli studenti delle scuole superiori) possono astenersi dall'esercitazione.

Per fare un ripasso sulle definizioni, sulle formule e sulle proprietà vi rimandiamo alla lezione correlata dedicata a esponenziale complesso e logaritmo complesso. ;)

Esercizi sull'esponenziale complesso

I) Esprimere in forma cartesiana e in forma trigonometrica il numero complesso

w = e^(i π)


II) Dato z = ln(2)+(2π)/(3)i, calcolare

Re(e^z)+Im(e^z)

dove e^(z) è l'esponenziale del numero complesso z.

III) Determinare tutti i numeri complessi z∈C che soddisfano il sistema

Re(e^(z)) = 1 ; Im(e^(z)) = 1

IV) Calcolare modulo e argomento del numero complesso

w = e^(π e^(i(π)/(2)))

V) Esprimere

w = e^((1)/(2)+(π)/(4)i)

in forma cartesiana e calcolare Re(w)·Im(w).

VI) Determinare tutti numeri complessi z∈C che soddisfano l'equazione

e^(z) = 1

VII) Risolvere nel campo complesso l'equazione

e^(2z)+2e^(z) = 0

VIII) Risolvere l'equazione nell'incognita z∈C

e^(2z) = Im(z)

IX) Risolvere rispetto alla incognita z∈C l'equazione

e^(z)+e^(-z) = 4

specificando le parti reali e le parti immaginarie delle eventuali soluzioni.

X) Risolvere l'equazione nel campo complesso

e^(3z)-2e^(2z)+2e^(z)-4 = 0

Esercizi sul logaritmo complesso

XI) Quanto vale il logaritmo complesso di 1?

XII) Calcolare Log(-1).

XIII) Esprimere in forma cartesiana il numero complesso

w = Log(1+i)

specificando la parte reale e la parte immaginaria.

XIV) Sia

w = Log(-√(2)i)

calcolare la seguente espressione

(Im(w)-Im(w))/(Re(w)+Re(w))

XV) Fissato (-π, π] come intervallo di variazione dell'argomento dei numeri complessi, mostrare che

Log((1+i)^2) = 2 Log(1+i)

mentre

Log((-1+i)^2) ne 2 Log(-1+i)

e dimostrare che la seguente relazione è falsa in campo complesso.

Log(z^2) = 2 Log(z)

XVI) Esprimere il seguente numero complesso in forma algebrica specificandone la parte reale e la parte immaginaria

w = Log(e^((π)/(4)i))+2Log(3e^((π)/(4)i))

dove Log(·) indica il logaritmo principale.

XVII) Risolvere l'equazione in campo complesso

Log(z) = i

XVIII) Determinare tutti i numeri complessi z che soddisfano l'equazione

|Log(z)| = Re(Log(z))

dove Log(z) indica il logaritmo principale.

XIX) Risolvere l'equazione in campo complesso

Re(Log(z)) = Im(Log(z))

dove Log(z) indica il logaritmo principale.

XX) Risolvere l'equazione

Log^2(z) = i

dove z è un incognita complessa e Log^2(z) è il logaritmo principale di z.

Svolgimenti e soluzioni

I) Esercizio su esponenziale complesso in forma cartesiana e trigonometrica

II) Espressione con esponenziale complesso

III) Insieme complesso con sistema ed esponenziali complessi

IV) Modulo e argomento di un esponenziale complesso

V) Esprimere un esponenziale complesso in forma algebrica

VI) Equazione con esponenziale complesso

VII) Esercizio equazione con esponenziali complessi

VIII) Equazione con esponenziale complesso e parte immaginaria

IX) Equazione in campo complesso con esponenziale complesso

X) Equazione con esponenziale complesso per sostituzione

XI) Logaritmo complesso di 1

XII) Logaritmo complesso di -1

XIII) Logaritmo complesso in forma cartesiana

XIV) Espressione complessa con logaritmo complesso

XV) Verificare identità con logaritmo complesso

XVI) Esprimere un numero con logaritmi complessi in forma algebrica

XVII) Log(z)=i

XVIII) Equazione con logaritmo complesso, parte reale e modulo

XIX) Equazione complessa con logaritmo complesso, parte reale e parte immaginaria

XX) Equazione complessa con il quadrato del logaritmo complesso

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

Lezione correlata

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