Esercizi su esponenziale complesso e logaritmo complesso

Qui di seguito potete consultare una raccolta di esercizi svolti su esponenziale complesso e logaritmo complesso, oggetto di studio solamente nei corsi di Analisi Matematica 1 delle facoltà universitarie di Matematica, Fisica e Ingegneria e nei corsi avanzati di Analisi Complessa.

 

Tutti gli studenti delle altre facoltà universitarie (e ovviamente gli studenti delle scuole superiori) possono astenersi dall'esercitazione.

 

Per fare un ripasso sulle definizioni, sulle formule e sulle proprietà vi rimandiamo alla lezione correlata dedicata a esponenziale complesso e logaritmo complesso. ;)

 
 
 

Esercizi sull'esponenziale complesso

 

I) Esprimere in forma cartesiana e in forma trigonometrica il numero complesso

 

w=e^{i \pi}


II) Dato z=\ln(2)+\frac{2\pi}{3}i, calcolare

 

Re(e^z)+Im(e^z)

 

dove e^{z} è l'esponenziale del numero complesso z.

 

III) Determinare tutti i numeri complessi z\in\mathbb{C} che soddisfano il sistema

 

\begin{cases}Re(e^{z})=1 \\ Im(e^{z})=1\end{cases}

 

IV) Calcolare modulo e argomento del numero complesso

 

w=e^{\pi e^{i\frac{\pi}{2}}}

 

V) Esprimere

 

w=e^{\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}i}

 

in forma cartesiana e calcolare Re(w)\cdot Im(w).

 

VI) Determinare tutti numeri complessi z\in\mathbb{C} che soddisfano l'equazione

 

e^{z}=1

 

VII) Risolvere nel campo complesso l'equazione

 

e^{2z}+2e^{z}=0

 

VIII) Risolvere l'equazione nell'incognita z\in\mathbb{C}

 

e^{2z}=e^{Im(z)}

 

IX) Risolvere rispetto alla incognita z\in\mathbb{C} l'equazione

 

e^{z}+e^{-z}=4

 

specificando le parti reali e le parti immaginarie delle eventuali soluzioni.

 

X) Risolvere l'equazione nel campo complesso

 

e^{3z}-2e^{2z}+2e^{z}-4=0

 

Esercizi sul logaritmo complesso

 

XI) Quanto vale il logaritmo complesso di 1?

 

XII) Calcolare \mbox{Log}(-1).

 

XIII) Esprimere in forma cartesiana il numero complesso

 

w=\mbox{Log}(1+i)

 

specificando la parte reale e la parte immaginaria.

 

XIV) Sia

 

w=\mbox{Log}(-\sqrt{2}i)

 

calcolare la seguente espressione

 

\frac{Im(\overline{w})-Im(w)}{Re(\overline{w})+Re(w)}

 

XV) Fissato (-\pi, \pi] come intervallo di variazione dell'argomento dei numeri complessi, mostrare che

 

\mbox{Log}((1+i)^2)=2\ \mbox{Log}(1+i)

 

mentre

 

\mbox{Log}((-1+i)^2)\ne 2\ \mbox{Log}(-1+i)

 

e dimostrare che la seguente relazione è falsa in campo complesso.

 

\mbox{Log}(z^2)=2\ \mbox{Log}(z)

 

XVI) Esprimere il seguente numero complesso in forma algebrica specificandone la parte reale e la parte immaginaria

 

w=\mbox{Log}(e^{\frac{\pi}{4}i})+2\mbox{Log}(3e^{\frac{\pi}{4}i})

 

dove \mbox{Log}(\cdot) indica il logaritmo principale.

 

XVII) Risolvere l'equazione in campo complesso

 

\mbox{Log}(z)=i

 

XVIII) Determinare tutti i numeri complessi z che soddisfano l'equazione

 

|\mbox{Log}(z)|=Re(\mbox{Log}(z))

 

dove \mbox{Log}(z) indica il logaritmo principale.

 

XIX) Risolvere l'equazione in campo complesso

 

Re(\mbox{Log}(z))=Im(\mbox{Log}(z))

 

dove \mbox{Log}(z) indica il logaritmo principale.

 

XX) Risolvere l'equazione

 

\mbox{Log}^2(z)=i

 

dove z è un incognita complessa e \mbox{Log}^2(z) è il logaritmo principale di z.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Esercizio su esponenziale complesso in forma cartesiana e trigonometrica

 

II) Espressione con esponenziale complesso

 

III) Insieme complesso con sistema ed esponenziali complessi

 

IV) Modulo e argomento di un esponenziale complesso

 

V) Esprimere un esponenziale complesso in forma algebrica

 

VI) Equazione con esponenziale complesso

 

VII) Esercizio equazione con esponenziali complessi

 

VIII) Equazione con esponenziale complesso e parte immaginaria

 

IX) Equazione in campo complesso con esponenziale complesso

 

X) Equazione con esponenziale complesso per sostituzione

 

XI) Logaritmo complesso di 1

 

XII) Logaritmo complesso di -1

 

XIII) Logaritmo complesso in forma cartesiana

 

XIV) Espressione complessa con logaritmo complesso

 

XV) Verificare identità con logaritmo complesso

 

XVI) Esprimere un numero con logaritmi complessi in forma algebrica

 

XVII) Log(z)=i

 

XVIII) Equazione con logaritmo complesso, parte reale e modulo

 

XIX) Equazione complessa con logaritmo complesso, parte reale e parte immaginaria

 

XX) Equazione complessa con il quadrato del logaritmo complesso

 

 

Lezione correlata


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