Esercizi sul passaggio dalla forma algebrica alla forma esponenziale e viceversa

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In questa scheda vi proponiamo una serie di esercizi sul passaggio dalla rappresentazione algebrica alla forma esponenziale dei numeri complessi, e viceversa.

Oltre alle soluzioni vi forniremo gli svolgimenti degli esercizi proposti soffermandoci sulle formule da usare caso per caso; vi ricordiamo inoltre che nella lezione correlata sul passaggio dalla forma algebrica alla forma esponenziale di un numero complesso abbiamo spiegato come procedere e proposto alcuni esempi accuratamente svolti. ;)

Esercizi sul passaggio dalla forma cartesiana a quella esponenziale di un numero complesso

Dati i seguenti numeri complessi in forma cartesiana, ricavarne la forma esponenziale.

I) $z=\sqrt{3}-i$

II)

III) $z=-\sqrt{2}i$

IV)

V) $z=-1+\sqrt{3}i$

VI) $z=-\sqrt{3}+i$

VII) $z=-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i$

VIII) $z=\frac{5}{2}+\frac{5}{2}\sqrt{3}i$

IX) $z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Svolgimenti e soluzioni

La forma esponenziale di un numero complesso è data da

$z=re^{i\theta}$

dove $r \mbox{ e } \theta$ rappresentano, rispettivamente, modulo ed argomento del numero complesso che occorre ricavare partendo dalla forma algebrica che abbiamo assegnato.

Attenzione: in alcuni casi il risultato può variare a seconda dell'intervallo in cui varia il modulo $\theta$ . Qui di seguito riportiamo entrambi i risultati, sia per $\theta \in (-\pi,\pi]$ sia per $\theta \in (0,2\pi]$ .

I) Calcoliamo il modulo:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=\sqrt{3+1}=2$

Per calcolare l'argomento $\theta\in (-\pi,\pi]$ osserviamo che , dunque ricorriamo alla formula

$\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)=\arctan\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}$

Di conseguenza la forma esponenziale è data da

$z=2e^{-\frac{\pi}{6}i}$

Per l'argomento $\theta\in [0,2\pi)$ invece osserviamo che $x>0,\ y<0$ e applichiamo la formula

$\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)+2\pi=\arctan\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)+2\pi=-\frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{11}{6}\pi$

cosicché la forma esponenziale è data da

$z=2e^{\frac{11}{6}\pi i}$

II) Calcoliamo il modulo:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-3)^2+(-3)^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$

Per calcolare l'argomento $\theta\in (-\pi,\pi]$ osserviamo che $x<0,\ y<0$ , dunque ricorriamo alla formula

$\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)-\pi=\arctan\left(\frac{-3}{-3}\right)-\pi=\arctan(1)-\pi=\frac{\pi}{4}-\pi=-\frac{3}{4}\pi$

Di conseguenza la forma esponenziale è data da

$z=3\sqrt{2}e^{-\frac{3}{4}\pi i}$

Per l'argomento $\theta\in [0,2\pi)$ , essendo , applichiamo la formula

$\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)+\pi=\arctan\left(\frac{-3}{-3}\right)+\pi=\arctan(1)+\pi=\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{5}{4}\pi$

cosicché la forma esponenziale è data da

$z=3\sqrt{2}e^{\frac{5}{4}\pi i}$

III) Calcoliamo il modulo:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(0)^2+(-\sqrt{2})^2}=\sqrt{0+2}=\sqrt{2}$

Per calcolare l'argomento $\theta\in (-\pi,\pi]$ basta notare che $x=0,\ y<0$

$\theta=-\frac{\pi}{2}$

e dunque

$z=\sqrt{2}e^{-\frac{\pi}{2} i}$

Per l'argomento $\theta\in [0,2\pi)$ osserviamo che $x=0,\ y<0$ , cosicché

$\theta=\frac{3}{2}\pi$

e dunque la forma esponenziale è

$z=\sqrt{2}e^{\frac{3}{2}\pi i}$

IV) Calcoliamo il modulo:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(12)^2+(0)^2}=\sqrt{144}=12$

Per calcolare l'argomento $\theta\in (-\pi,\pi]$ osserviamo che , per cui usiamo la formula

$\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)=\arctan\left(\frac{0}{12}\right)=\arctan(0)=0$

e dunque

$z=12e^{0 i}$

Per l'argomento $\theta\in [0,2\pi)$ la forma esponenziale è la stessa.

V) Calcoliamo il modulo:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2$

Per calcolare l'argomento $\theta\in (-\pi,\pi]$ osserviamo che $x<0,\ y\geq 0$ , dunque ricorriamo alla formula

$\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)+\pi=\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right)+\pi=\arctan(-\sqrt{3})+\pi=-\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{2}{3}\pi$

Di conseguenza la forma esponenziale è data da

$z=2e^{\frac{2}{3}\pi i}$

Per l'argomento $\theta\in [0,2\pi)$ la forma esponenziale è la stessa.

VI) Calcoliamo il modulo:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+(1)^2}=\sqrt{3+1}=2$

Per calcolare l'argomento $\theta\in (-\pi,\pi]$ osserviamo che $x<0,\ y\geq 0$ , dunque ricorriamo alla formula

$\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)+\pi=\arctan\left(\frac{1}{-\sqrt{3}}\right)+\pi=-\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{5}{6}\pi$

Di conseguenza la forma esponenziale è data da

$z=2e^{\frac{5}{6}\pi i}$

Per l'argomento $\theta\in [0,2\pi)$ la forma esponenziale è la stessa.

VII) Calcoliamo il modulo:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\left(-\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{3}{16}}=\frac{1}{2}$

Per calcolare l'argomento $\theta\in (-\pi,\pi]$ osserviamo che $x<0,\ y\geq 0$ , dunque ricorriamo alla formula

$\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)+\pi=\arctan\left(\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{-\frac{1}{4}}\right)+\pi=\arctan(-\sqrt{3})+\pi=-\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{2}{3}\pi$

Di conseguenza la forma esponenziale è data da

$z=\frac{1}{2}e^{\frac{2}{3}\pi i}$

Per l'argomento $\theta\in [0,2\pi)$ la forma esponenziale è la stessa.

VIII) Calcoliamo il modulo:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{75}{4}}=5$

Per calcolare l'argomento $\theta\in (-\pi,\pi]$ osserviamo che , dunque ricorriamo alla formula

$\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)=\arctan\left(\frac{\frac{5}{2}\sqrt{3}}{\frac{5}{2}}\right)=\arctan(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3}$

Di conseguenza la forma esponenziale è data da

$z=5 e^{\frac{\pi}{3} i}$

Per l'argomento $\theta\in [0,2\pi)$ la forma esponenziale è la stessa.

IX) Calcoliamo il modulo:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1$

Per calcolare l'argomento $\theta\in (-\pi,\pi]$ notiamo che , dunque usiamo la formula

$\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)=\arctan\left(\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\right)=\arctan(-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3}$

La forma esponenziale è data da

$z=e^{-\frac{\pi}{3} i}$

Per l'argomento $\theta\in [0,2\pi)$ , essendo $x>0,\ y<0$ , applichiamo la formula

$\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)+2\pi=\\ \\ \\ =\arctan\left(\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\right)+2\pi=\arctan(-\sqrt{3})+2\pi=-\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{5}{3}\pi$

per cui la forma esponenziale è data da

$z=e^{\frac{5}{3}\pi i}$

X) Calcoliamo il modulo:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(24)^2+(0)^2}=\sqrt{576}=24$

Per calcolare l'argomento $\theta\in (-\pi,\pi]$ basta notare che $x=0,\ y>0$

$\theta=\frac{\pi}{2}$

e dunque

$z=24e^{\frac{\pi}{2} i}$

Nel caso $\theta\in [0,2\pi)$ la forma esponenziale è la stessa.

Esercizi sul passaggio dalla forma esponenziale a quella algebrica di un numero complesso

Scrivere in forma cartesiana i seguenti numeri complessi dati in forma esponenziale.

I) $z=\sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{4}i}$

II) $z=\frac{1}{2}e^{\frac{11}{6}\pi i}$

III) $z=e^{\frac{3}{4}\pi i}$

IV) $z=\frac{\sqrt{3}}{2}e^{\frac{3}{2}\pi i}$

V) $z=16 e^{-\frac{\pi}{3} i}$

VI) $z=3 e^{2\pi i}$

VII) $z=\sqrt{3}e^{-\frac{4}{3}\pi i}$

VIII) $z=4 e^{\frac{\pi}{12}i}$

IX) $z=e^{\frac{5}{6}\pi i}$

X) $z=14 e^{-\frac{7}{6}\pi i}$

Svolgimenti e soluzioni

Nella pratica il metodo più veloce per passare dalla forma esponenziale alla forma algebrica consiste nel passare dapprima alla forma trigonometrica

$z=re^{i\theta}\ \to\ z=r[\cos(\theta)+i\sin(\theta)]$

e successivamente alla forma algebrica. In questo contesto è bene ricordare i valori delle funzioni goniometriche per gli angoli notevoli; nel caso di angoli notevoli ma poco ricorrenti vale la pena di ricorrere alle formule trigonometriche in modo da ricondursi agli angoli notevoli più ricorrenti.

I) Esprimiamo il numero in forma trigonometrica e calcoliamo i valori

$\\ z=\sqrt{2}\left[\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right]=\\ \\ \\ =\sqrt{2}\left[\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right]$

Quindi

II) Esprimiamo il numero in forma trigonometrica

$\\ z=\frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{11}{6}\pi\right)+i\sin\left(\frac{11}{6}\pi\right)\right]=\\ \\ \\ =\frac{1}{2}\left[\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right]$

Quindi

$z=\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{4}i$

III) Esprimiamo il numero in forma trigonometrica

$\\ z=\cos\left(\frac{3}{4}\pi\right)+i\sin\left(\frac{3}{4}\pi\right)=\\ \\ \\ =-\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}$

Quindi

$z=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$

IV) Esprimiamo il numero in forma trigonometrica

$\\ z=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[\cos\left(\frac{3}{2}\pi\right)+i\sin\left(\frac{3}{2}\pi\right)\right]=\\ \\ \\ =\frac{\sqrt{3}}{2}\left[0-i\right]$

Quindi

$z=-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

V) Esprimiamo il numero in forma trigonometrica

$\\ z=16\left[\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right]=\\ \\ \\ =16\left[\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$

Quindi

$z=8-8\sqrt{3}i$

VI) Esprimiamo il numero in forma trigonometrica

$\\ z=3\left[\cos\left(2\pi\right)+i\sin\left(2\pi\right)\right]=\\ \\ =3\left[1+0\right]$

Quindi

A proposito di questo esempio vi facciamo notare che noi siamo abituati a definire l'argomento $\theta\in (-\pi,\pi]$ oppure in $\theta\in [0,2\pi)$ , ma nulla vieta di considerare la forma esponenziale con un argomento $\theta\in\mathbb{R}$ . Sappiamo infatti che ogni angolo può essere ridotto trigonometricamente ad uno dei precedenti intervalli.

VII) Esprimiamo il numero in forma trigonometrica

$\\ z=\sqrt{3}\left[\cos\left(-\frac{4}{3}\pi\right)+i\sin\left(-\frac{4}{3}\pi\right)\right]=\\ \\ \\ =\sqrt{3}\left[-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$

Quindi

$z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i$

VIII) Esprimiamo il numero in forma trigonometrica

$\\ z=4\left[\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\right]$

Qui possiamo procedere in due modi equivalenti: se ci ricordiamo il valore delle funzioni goniometriche in $\theta=\frac{\pi}{12}$ possiamo scrivere direttamente le valutazioni

$z=4\left[\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}+i\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\right]$

e procedere con gli usuali calcoli, effettuando all'occorrenza una razionalizzazione del risultato:

$z=\sqrt{2}+\sqrt{6}+i\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)$

In alternativa possiamo ricorrere alle formule di sottrazione degli archi osservando che

$\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}$

IX) Esprimiamo il numero in forma trigonometrica

$\\ z=\cos\left(\frac{5}{6}\pi\right)+i\sin\left(\frac{5}{6}\pi\right)=\\ \\ \\ =-\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}$

Quindi

$z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$

X) Esprimiamo il numero in forma trigonometrica

$\\ z=14\left[\cos\left(-\frac{7}{6}\pi\right)+i\sin\left(-\frac{7}{6}\pi\right)\right]=\\ \\ \\ =14\left[-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right]$

Quindi

$z=-7\sqrt{3}+7i$

È tutto! In caso di dubbi, se non l'aveste già fatto, vi consigliamo di dare un'occhiata alla lezione correlata. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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