Esercizi sul passaggio dalla forma algebrica alla forma esponenziale e viceversa
In questa scheda vi proponiamo una serie di esercizi sul passaggio dalla rappresentazione algebrica alla forma esponenziale dei numeri complessi, e viceversa.
Oltre alle soluzioni vi forniremo gli svolgimenti degli esercizi proposti soffermandoci sulle formule da usare caso per caso; vi ricordiamo inoltre che nella lezione correlata sul passaggio dalla forma algebrica alla forma esponenziale di un numero complesso abbiamo spiegato come procedere e proposto alcuni esempi accuratamente svolti. ;)
Esercizi sul passaggio dalla forma cartesiana a quella esponenziale di un numero complesso
Dati i seguenti numeri complessi in forma cartesiana, ricavarne la forma esponenziale.
I)
II)
III)
IV)
V)
VI)
VII)
VIII)
IX)
X)
Svolgimenti e soluzioni
La forma esponenziale di un numero complesso è data da
dove rappresentano, rispettivamente, modulo ed argomento del numero complesso
che occorre ricavare partendo dalla forma algebrica che abbiamo assegnato.
Attenzione: in alcuni casi il risultato può variare a seconda dell'intervallo in cui varia il modulo . Qui di seguito riportiamo entrambi i risultati, sia per
sia per
.
I) Calcoliamo il modulo:
Per calcolare l'argomento osserviamo che
, dunque ricorriamo alla formula
Di conseguenza la forma esponenziale è data da
Per l'argomento invece osserviamo che
e applichiamo la formula
cosicché la forma esponenziale è data da
II) Calcoliamo il modulo:
Per calcolare l'argomento osserviamo che
, dunque ricorriamo alla formula
Di conseguenza la forma esponenziale è data da
Per l'argomento , essendo
, applichiamo la formula
cosicché la forma esponenziale è data da
III) Calcoliamo il modulo:
Per calcolare l'argomento basta notare che
e dunque
Per l'argomento osserviamo che
, cosicché
e dunque la forma esponenziale è
IV) Calcoliamo il modulo:
Per calcolare l'argomento osserviamo che
, per cui usiamo la formula
e dunque
Per l'argomento la forma esponenziale è la stessa.
V) Calcoliamo il modulo:
Per calcolare l'argomento osserviamo che
, dunque ricorriamo alla formula
Di conseguenza la forma esponenziale è data da
Per l'argomento la forma esponenziale è la stessa.
VI) Calcoliamo il modulo:
Per calcolare l'argomento osserviamo che
, dunque ricorriamo alla formula
Di conseguenza la forma esponenziale è data da
Per l'argomento la forma esponenziale è la stessa.
VII) Calcoliamo il modulo:
Per calcolare l'argomento osserviamo che
, dunque ricorriamo alla formula
Di conseguenza la forma esponenziale è data da
Per l'argomento la forma esponenziale è la stessa.
VIII) Calcoliamo il modulo:
Per calcolare l'argomento osserviamo che
, dunque ricorriamo alla formula
Di conseguenza la forma esponenziale è data da
Per l'argomento la forma esponenziale è la stessa.
IX) Calcoliamo il modulo:
Per calcolare l'argomento notiamo che
, dunque usiamo la formula
La forma esponenziale è data da
Per l'argomento , essendo
, applichiamo la formula
per cui la forma esponenziale è data da
X) Calcoliamo il modulo:
Per calcolare l'argomento basta notare che
e dunque
Nel caso la forma esponenziale è la stessa.
Esercizi sul passaggio dalla forma esponenziale a quella algebrica di un numero complesso
Scrivere in forma cartesiana i seguenti numeri complessi dati in forma esponenziale.
I)
II)
III)
IV)
V)
VI)
VII)
VIII)
IX)
X)
Svolgimenti e soluzioni
Nella pratica il metodo più veloce per passare dalla forma esponenziale alla forma algebrica consiste nel passare dapprima alla forma trigonometrica
e successivamente alla forma algebrica. In questo contesto è bene ricordare i valori delle funzioni goniometriche per gli angoli notevoli; nel caso di angoli notevoli ma poco ricorrenti vale la pena di ricorrere alle formule trigonometriche in modo da ricondursi agli angoli notevoli più ricorrenti.
I) Esprimiamo il numero in forma trigonometrica e calcoliamo i valori
Quindi
II) Esprimiamo il numero in forma trigonometrica
Quindi
III) Esprimiamo il numero in forma trigonometrica
Quindi
IV) Esprimiamo il numero in forma trigonometrica
Quindi
V) Esprimiamo il numero in forma trigonometrica
Quindi
VI) Esprimiamo il numero in forma trigonometrica
Quindi
A proposito di questo esempio vi facciamo notare che noi siamo abituati a definire l'argomento oppure in
, ma nulla vieta di considerare la forma esponenziale con un argomento
. Sappiamo infatti che ogni angolo può essere ridotto trigonometricamente ad uno dei precedenti intervalli.
VII) Esprimiamo il numero in forma trigonometrica
Quindi
VIII) Esprimiamo il numero in forma trigonometrica
Qui possiamo procedere in due modi equivalenti: se ci ricordiamo il valore delle funzioni goniometriche in possiamo scrivere direttamente le valutazioni
e procedere con gli usuali calcoli, effettuando all'occorrenza una razionalizzazione del risultato:
In alternativa possiamo ricorrere alle formule di sottrazione degli archi osservando che
IX) Esprimiamo il numero in forma trigonometrica
Quindi
X) Esprimiamo il numero in forma trigonometrica
Quindi
È tutto! In caso di dubbi, se non l'aveste già fatto, vi consigliamo di dare un'occhiata alla lezione correlata. ;)
Buon proseguimento su YouMath,
Giuseppe Carichino (Galois)
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