Esercizi sul passaggio dalla forma algebrica alla forma trigonometrica e viceversa

In questa scheda vi proponiamo una serie di esercizi sul passaggio dalla forma algebrica dei numeri complessi alla forma trigonometrica e, viceversa, ulteriori esercizi in cui è richiesto di passare dalla forma trigonometrica alla rappresentazione cartesiana.

 

In caso di dubbi vi consigliamo, se non l'aveste già fatto, di leggere la lezione correlata sul passaggio dalla forma algebrica alla forma trigonometrica di un numero complesso e viceversa nella quale, oltre alla spiegazione dettagliata sul metodo di risoluzione e le formule, potete consultare degli esempi accuratamente svolti. ;)

 
 
 

Esercizi sul passaggio dalla forma cartesiana a quella trigonometrica di un numero complesso

 

Dati i seguenti numeri complessi in forma algebrica, esprimerli in forma trigonometrica.

 

Attenzione: per procedere è importante ricordare che la scelta dell'argomento è arbitraria e che le formule variano a seconda che si scelga di determinare l'argomento nell'intervallo (-\pi,\pi] oppure nell'intervallo [0,2\pi). Inoltre è bene ricordare com'è definita l'arcotangente e come se ne determinano i valori.

 

I) z=-1+\sqrt{3}i

 

II) z=3+3i

 

III) z=-8

 

IV) z=2i

 

V) z=\sqrt{3}+i

 

VI) z=\sqrt{3}-i

 

VII) z=-\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{4}i

 

VIII) z=-\frac{5}{2}\sqrt{3}-\frac{5}{2}i

 

IX) z=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i

 

X) z=-7i

 

 

Soluzioni

 

Per ricavare la forma trigonometrica di un numero complesso non bisogna far altro che determinarne modulo e argomento.

 

Badate bene che in alcuni casi il risultato può variare a seconda dell'intervallo in cui si considera l'argomento \theta. Per completezza vi forniamo entrambi i risultati, sia per \theta \in (-\pi,\pi] che per \theta \in [0,2\pi).

 

Nella scrittura delle formule assumeremo che z=x+iy sia la forma cartesiana, rispettivamente con x=Re(z) e y=Im(z) la parte reale e la parte immaginaria, e che z=r[\cos(\theta)+i\sin(\theta)] sia la forma trigonometrica, rispettivamente con r=|z| e \theta=Arg(z) il modulo e l'argomento.

 

I) Calcoliamo il modulo:

 

r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2

 

Per l'argomento \theta\in (-\pi, \pi] osserviamo che x<0 e che y\geq 0, dunque useremo la formula

 

\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)+\pi=\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right)+\pi=\arctan(-\sqrt{3})+\pi=-\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{2}{3}\pi

 

Dunque la forma trigonometrica del numero complesso è

 

z=2\left[\cos\left(\frac{2}{3}\pi\right)+i\sin\left(\frac{2}{3}\pi\right)\right]

 

Stessa forma trigonometrica per \theta \in [0,2\pi).

 

II) Calcoliamo il modulo:

 

r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(3)^2+(3)^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}

 

Per l'argomento \theta\in (-\pi, \pi] osserviamo che x>0, dunque useremo la formula

 

\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)=\arctan\left(\frac{3}{3}\right)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}

 

La forma trigonometrica del numero complesso è

 

z=3\sqrt{2}\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right].

 

Stessa forma trigonometrica per \theta \in [0,2\pi)

 

III) Calcoliamo il modulo:

 

r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-8)^2+(0)^2}=\sqrt{64}=8

 

Per l'argomento \theta\in (-\pi, \pi] osserviamo che x<0 e che y\geq 0. dunque Usiamo la formula

 

\\ \theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)+\pi=\arctan\left(\frac{0}{-8}\right)+\pi=\arctan(0)+\pi=0+\pi=\pi

 

La forma trigonometrica del numero complesso è

 

z=8\left[\cos\left(\pi\right)+i\sin\left(\pi\right)\right]

 

Stessa forma trigonometrica per \theta \in [0,2\pi)

 

IV) Calcoliamo il modulo:

 

r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(0)^2+(2)^2}=\sqrt{4}=2

 

Per l'argomento \theta\in (-\pi, \pi] osserviamo che x=0 e che y> 0, dunque concludiamo che

 

\theta=\frac{\pi}{2}

 

e la forma trigonometrica del numero complesso è

 

\ z=2\left[\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right]

 

Stessa forma trigonometrica per \theta \in [0,2\pi).

 

V) Calcoliamo il modulo:

 

r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(1)^2}=\sqrt{3+1}=2

 

Per l'argomento \theta\in (-\pi, \pi] osserviamo che x>0, dunque concludiamo che

 

\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)=\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}

 

e la forma trigonometrica del numero complesso è

 

z=2\left[\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right]

 

Stessa forma trigonometrica per \theta \in [0,2\pi).

 

VI) Calcoliamo il modulo:

 

r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=\sqrt{3+1}=2

 

Per l'argomento \theta\in (-\pi, \pi] osserviamo che x>0, dunque concludiamo che

 

\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)=\arctan\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}

 

e la forma trigonometrica del numero complesso è

 

z=2\left[\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right]

 

Scegliendo \theta\in [0,2\pi), poiché x<0 e y<0, dobbiamo ricorrere alla formula

 

\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)+2\pi=\arctan\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)+2\pi=-\frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{11}{6}\pi

 

e la forma trigonometrica è data da

 

z=2\left[\cos\left(\frac{11}{6}\pi\right)+i\sin\left(\frac{11}{6}\pi\right)\right]

 

VII) Calcoliamo il modulo:

 

r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)^2}=\sqrt{\frac{3}{16}+\frac{1}{16}}=\frac{1}{2}

 

Per l'argomento \theta\in (-\pi, \pi] osserviamo che x<0 e che y\geq 0, di conseguenza usiamo la formula

 

\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)+\pi=\arctan\left(\frac{\frac{1}{4}}{-\frac{\sqrt{3}}{4}}\right)+\pi=\arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\pi=-\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{5}{6}\pi

 

e la forma trigonometrica del numero complesso è

 

z=\frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{5}{6}\pi\right)+i\sin\left(\frac{5}{6}\pi\right)\right]

 

Stessa forma trigonometrica per \theta \in [0,2\pi).

 

VIII) Calcoliamo il modulo:

 

r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\left(-\frac{5}{2}\sqrt{3}\right)^2+\left(-\frac{5}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{75}{4}+\frac{25}{4}}=5

 

Per l'argomento \theta\in (-\pi, \pi] osserviamo che x<0 e che y<0, dunque

 

\\ \theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)-\pi=\arctan\left(\frac{-\frac{5}{2}}{-\frac{5}{2}\sqrt{3}}\right)-\pi=\\ \\ \\ =\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)-\pi=\frac{\pi}{6}-\pi=-\frac{5}{6}\pi

 

e la forma trigonometrica del numero complesso è

 

z=5\left[\cos\left(-\frac{5}{6}\pi\right)+i\sin\left(-\frac{5}{6}\pi\right)\right]

 

Scegliendo \theta\in [0,2\pi) dobbiamo osservare che x<0, sicché

 

\\ \theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)+\pi=\arctan\left(\frac{-\frac{5}{2}}{-\frac{5}{2}\sqrt{3}}\right)+\pi=\\ \\ \\ =\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\pi=\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{7}{6}\pi

 

e dunque

 

z=5\left[\cos\left(\frac{7}{6}\pi\right)+i\sin\left(\frac{7}{6}\pi\right)\right]

 

IX) Calcoliamo il modulo:

 

r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(-\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=1

 

Per l'argomento \theta\in (-\pi, \pi] osserviamo che x<0 e che y<0, dunque

 

\\ \theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)-\pi=\arctan\left(\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)-\pi=\\ \\ \\ =\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)-\pi=\frac{\pi}{6}-\pi=-\frac{5}{6}\pi

 

e la forma trigonometrica del numero complesso è

 

z=\left[\cos\left(-\frac{5}{6}\pi\right)+i\sin\left(-\frac{5}{6}\pi\right)\right]

 

Considerando \theta\in [0,2\pi) dobbiamo notare che x<0, cosicché utilizzeremo la formula

 

\\ \theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)+\pi=\arctan\left(\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)+\pi=\\ \\ \\ =\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\pi=\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{7}{6}\pi

 

z=\left[\cos\left(\frac{7}{6}\pi\right)+i\sin\left(\frac{7}{6}\pi\right)\right]

 

X) Calcoliamo il modulo:

 

r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(0)^2+(-7)^2}=\sqrt{49}=7

 

Per l'argomento \theta\in (-\pi, \pi] osserviamo che x=0 e che y<0, dunque è dato da

 

\theta=-\frac{\pi}{2}

 

e la forma trigonometrica del numero complesso è

 

z=7\left[\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right]

 

Per \theta\in [0,2\pi), essendo x=0 e y<0

 

\theta=\frac{3}{2}\pi

 

e in definitiva

 

z=7\left[\cos\left(\frac{3}{2}\pi\right)+i\sin\left(\frac{3}{2}\pi\right)\right]

 

Esercizi sul passaggio dalla forma trigonometrica a quella algebrica di un numero complesso

 

Scrivere in forma cartesiana i seguenti numeri complessi dati in forma trigonometrica.

 

Attenzione: per questi esercizi il più delle volte non servono particolari calcoli ed è sufficiente ricordare i principali valori delle funzioni goniometriche. Eventualmente, in caso di angoli notevoli particolari, si può giungere alle valutazioni applicando opportunamente le formule trigonometriche con angoli particolari.

 

Ad esempio: \frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}.

 

I) z=2\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]

 

II) z=7\left[\cos\left(\frac{5}{4}\pi\right)+i\sin\left(\frac{5}{4}\pi\right)\right]

 

III) z=\left[\cos\left(\frac{2}{3}\pi\right)+i\sin\left(\frac{2}{3}\pi\right)\right]

 

IV) z=\pi\left[\cos\left(\frac{3}{2}\pi\right)+i\sin\left(\frac{3}{2}\pi\right)\right]

 

V) z=12\left[\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right]

 

VI) z=24\left[\cos\left(0\right)+i\sin\left(0\right)\right]

 

VII) z=\sqrt{3}\left[\cos\left(\frac{3}{4}\pi\right)+i\sin\left(\frac{3}{4}\pi\right)\right]

 

VIII) z=\sqrt{2}\left[\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right]

 

IX) z=12\left[\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right]

 

X) z=5\left[\cos\left(\frac{7}{6}\pi\right)+i\sin\left(\frac{7}{6}\pi\right)\right]

 

 

Soluzioni

 

I) z=\sqrt{2}+i\sqrt{2}

 

II) z=-\frac{7}{2}\sqrt{2}-\frac{7}{2}\sqrt{2}i

 

III) z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i

 

IV) z=-\pi i

 

V) z=6\sqrt{3}+6i

 

VI) z=24

 

VII) z=-\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i

 

VIII) z=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i

 

IX) z=12i

 

X) z=-\frac{5}{2}\sqrt{3}-\frac{5}{2}i

 

 


 

In caso di dubbi, problemi o perplessità varie vi consigliamo un'attenta lettura alla lezione correlata e, se non dovesse bastare o se foste alla ricerca di altri esercizi, vi invitiamo ad utilizzare la barra di ricerca (in alto a destra in ogni pagina). ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione correlata


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